负二项分布的两个不同定义_康殿统

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1、第30卷第5期（2014）河西学院学报Vol.30No.5（2014）负二项分布的两个不同定义康殿统（河西学院数学与统计学院，甘肃张掖734000）摘要：给出了负二项分布的两个不同定义，给出了两类负二项随机变量的期望、方差与矩母函数．从直观上对这两类负二项随机变量做了描述．关键词：负二项分布；伽玛分布；泊松分布；矩母函数；泊松过程中图分类号：O211.5文献标识码：A文章编号：1672－0520（2014）05－0022－09DOI：10.13874/j.cnki.62-1171/g4.2014.05.0051引言与预备知识在应用概率论与经济学中，负二项分

2、布（NegativeBinomialDistribution）以其重要而有趣的性质居于一个重要的位置.关于负二项分布的研究，国内外已有大量的文献，有兴趣的读者可参阅文献［1-3］．本文中，我们对负二项分布做进一步的研究，一方面，我们给出负二项分布的两个不同的定义，通过这两个定义揭示负二项分布的一些特征性质．另一方面，揭示负二项分布与泊松分布、伽玛分布之间的联系．我们将展示负二项分布是伽玛分布的离散化，伽玛分布是负二项分布的连续化，离散的负二项分布与连续的伽玛分布具有对等的性质．-
定义1.1称函数L()t=Ee(),t³0为非负随机变量X的Laplac

3、e变换．
定义1.2称函数M()t=Ee(),t³0为非负随机变量X的矩母函数．
注记1.1文［1］中定义非负随机变量X的矩母函数为M()t=Ee(),tÎ
,这个定义包括了上述定义中的Laplace变换和矩母函数两种情形，这也是一非常好的处理方法．注记1.2若随机变量X与Y独立．则有M
+()t=M
()tMtt(),³0.定义1.3设X为一非负离散随机变量.如果X具有概率质量函数ænö
-
p()x=ç÷p(1-p),x=0,1,L,,nèøx则称X服从参数为n与p的二项分布，记做X:B(,np),这里n为正整数，0

4、，X:B(1,)p=-01(),p这时二项变量即为伯努利变量．伯努利变量X:01-()p的期望与方差分别为EX()=pDX,()=p(1-p).矩母函数为收稿日期：2013-11-04作者简介：康殿统（1963—），男，甘肃民乐人，副教授，主要从事可靠性理论与随机序的研究．·22·康殿统：负二项分布的两个不同定义

´

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M(t)=Ee()=p(0)×e+p(1)×e=(1-p)+pe,t³0.设X:B(,np),X
:B(1,)p=-01(),p诸X
相互独立．则有X=X+X+L+X.（1）

由（1）式易有二项随机变量的期望与方差分别为

5、EX()=np,DX()=np(1-p).（2）矩母函数为

M()t=éëM
()tùû=éë(1-p)+peùû,t³0.注记1.3由（2）式可以看出，对二项随机变量X:B(,np)来说，有DX()

6、记做X:P(),l这里l>0为实数．注记1.4泊松变量的数学期望与方差均为参数l,即X:P(),lEX()=DX()=l.由矩母函数的定义直接计算可得泊松随机变量的矩母函数为
l(e-1)M()t=e,t³0.X+¥称函数a-
-
为伽玛函数．G()a=òxed,xa>0定义1.5如果非负连续随机变量X具有概率密度函数ì1aa-
-l
ïlxe,x³0;f(x)=íG()a（2）ïî0,x<0,则称X服从参数为a与l的伽玛分布，记作X~G(al,),其中a>0为形状参数，l>0为尺度参数．设q>0,称随机变量qX为X的尺度变换．考虑伽玛分布类在尺度变换

7、下的行为．根据定义容易证明如下的结论成立．命题1.1若X~G(al,),则对任意的q>0,有ælöqX~Gça,÷.èqø注记1.5命题1.1表明，伽玛分布类在尺度变换下具有封闭性．众所周知，伽玛随机变量具有可加性．设X~G(a
,),lY:Gal(,),X与Y独立．则有·23·河西学院学报2014年第5期Z=X+Y:G(a+a,l).
由于a+¥+¥1aa-
-l
l+¥a-
-l
f()xxd=lxedx=xedx=1,òòG()aGa()ò所以有+¥a-
-l
G()axedx=.（4）òla+¥a-
-l
注记1.6（4）式是一个非常

8、有用的公式．在积分学中也常用来计算形如òxedx的积分．容易算出