试论数列极限中蕴涵的若干辩证思想

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1、万方数据第3期(总第64期)山西广播电视大学学报No．32Q堕生!旦壁幽型堑曼h!鲤!幽i!鱼型型尘!!堡i盟：丛型：至Q堡摘要：在《高等数学》教学中，教师不夜要向学生传授最有价值的知识而且要重视培养学生的数学思维能力和数学素养。数列极限概念包含了事物无限运动变化过程和无限逼近思想，体现了有限与无限、过程与结果、运动与静止等辩证关系，有着丰富、典型、深刻的辩证思想。关键词：数列极限；过程与结果；有限与无限；静态与动态；辨证关系．中图分类号：CA21文献标识码：B文章编号：1008---8350(2008)∞—0048

2、—皿，高等数学有着丰富、典型、深刻的辩证法思想。恩格斯对19世纪70年代以前的数学和各门自然科学都有深入的研究，他特别指出：数学是辩证法的辅助工具和表达方式，培养学生辩证唯物主义观点和辩证思维能力是高等数学教学目的之一，要达到这一目的，笔者认为关键是在进行高等数学教学时，引导学生认识和理解高等数学中蕴涵的辩证关系。极限是高等数学中的重要概念之一，高等数学中的许多重要概念都是用极限概念来定义的，因而极限概念不仅是一个数学概念，而且也是一种数学思维方法和数学思想，是高等数学的基础。而数列极限又是学生最早学习的一个极限概念

3、，它包含了事物无限运动变化过程和无限逼近思想，体现了有限与无限、过程与结果、静态与动态等辩证关系，有着丰富、典型、深刻的辩证思想。我们认为理解和把握数列极限概念中蕴涵的这些辩证思想是学习数列极限概念的关键所在，对学习高等数学中的其他概念也有很大帮助。一、数列极限是过程与结果的统一r11El给定一个数列{1-砉}即了1，}，寺，雨l,J，⋯”，l一砉，L厶J_V1V‘-⋯⋯观察其变化趋势可以发现，当越来越大时它变化的“最后”结果必然是1，这个1就是该数列的极限，数列中的每一项都不是1，数列中的每一项就是数列的变化过程，

4、1是该数列变化的最后结果。一方面数列中的每一项都不是1，反映了过程和结果对立的一面，另外一方面，随着变化过程的进行，数列又转化为1，反映了过程与结果又有统一性。过程决定了结果，结果体现了过程，在定量描述的极限定义中，可看到其中蕴涵着深刻的哲学原理：就是说当自变量n在无限增收稿日期：2008—02—02主要作者简介：陈丫丫(1982一)，女，山西阳泉人，太原大学教育学院。在职研究生。·48·大过程中，变量fill也在向它的极限(常数)A无限接近，但它又永远不是A，可见极限A反映了变量孤无限变化的—个结果以及过程与结果相

5、对立的一面。但取极限的结果又使all转化为A，这又反映了过程与结果相统一的一面，同时也说明了在一个无限变化过程中，变量向着某个常量无限接近，这就是说在一定条件下，变量可以向常量转化，这正是从数量上反映了客观事物在—个无限变化过程中，向着某种确定的状态转化，因而数列极限是变化过程与变化结果的对立统一。二、数列极限是有限与无限的统一我国古代魏晋时期，数学家刘徽提出增加圆内接正多边形的边数来逼近圆的“割圆术”，就已体现了“有限与无限”的思想，所谓“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”又如战

6、国时期庄周所著的《庄子·天下篇》中“尺棰取半”的名例：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，一尺长的棰，在长度上是有限的、相对稳定的，“日取其半”这一过程是对捶无限分割的过程，在“万世不竭”的无限分割中，一次比一次短，一次比一次微小，永无止境。极限概念是数学上的一个长期困扰着人们的概念，可以说，数学的发展过程就是人们对极限的不断认识的过程。特别是对于微积分而言，极限是一个贯穿始终的重要概念，而数列极限概念又是基础。首先看数列的极限的描述定义：“数列{a。}当n无限增大时{a。}无限趋近于常数A，则A为数列{a。}的极限。

7、记作lima。=A”，这种描述性语言，人们容易接受，现在一些初等的微积分读物中还经常采用这种定义。但是，这种定义没有定量地给出两个“无限过程”之间的联系，有明显的直观痕迹，不能作为科学论证的逻辑基础。为了排除上述描述性定义的直观痕迹，数学家魏尔斯托拉斯提出了数列极限的8一N定义。即如果对任意正数￡，总存在正整数N，当n

8、的接近程度。正数8具有二重性，一是它的任意性，即￡可以任意选取，二是相对固定性，虽然8可以任意给定，但一经给定就相对固定下来，作为—个固定的正数看待，正数e的二重性体现了这个数列逼近它的极限时要距离经历—个无限过程(这个无限过程通过的任意性来体现)，但这个无限过程又要一步步地来实现，而且每一步的变化都是有限的(这个有限的变化通过8的相对固定性来