生物统计学 第五章 t分布

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1、第五章t分布与t检验第一节样本平均数的抽样分布和t分布1.抽样分布1.1总体和样本的关系总体→样本（一般→特殊）主要研究所抽取样本的分布,亦即变异特点（抽样分布）样本→总体（特殊→一般）主要从样本的结果去推断原来总体的结果（统计推断）t分布&t检验1.2统计量统计推断中，建立的样本各种函数，包含有关总体信息，这种样本函数称为统计量，如：?,S。总体X1X2X3X4X5X6…Xn样本统计量(如?)?1?2?3…函数(统计量）f(x)1.3抽样分布从一个总体中,按一定的样本容量随机抽取所有可能的样本，由这些样本计算出的统计量

2、[样本函数f(x);?,?2]必然形成一种分布(亦即一个新的总体),这种分布称为该统计量的随机抽样分布或抽样分布。t分布&t检验[实例]在一个N=4的有限总体中，存在变数2,3,3,4。根据μ=Σx／N和σ2=Σ(x-μ)2／N求得该总体的μ、σ2、σ为：μ=3,σ2=1／2,σ=12=0.707从有限总体作返置随机抽样,如果从中抽取n=2的样本，共可得?1×?1=16个样本；如果样本含量n为4，则一44共可抽得?1×?1×?1×?1=256个样本。4444当n=2时的组合有：2-3,2-3,2-4,3-3,3-4,3-

3、4,4-3,4-3,4-2,3-3,3-2,3-2,2-2,3-3,3-3,4-4等共16种组合。分别求这些样本的平均数，其次数分布下表：t分布&t检验t分布&t检验在n=2的试验中，样本平均数抽样总体的平均数、方差与标准差分别为：fx/f48.0/163x2f(xx)2fx2(fx)2/Nn148482/16xff162=4/16=1/4=(1/2)/2=/n2xx1/412/2nn=4时：x768/256322x32/2561/8(1/2)/

4、4/n114x82nt分布&t检验图4-12平均数的抽样分布t分布&t检验1.4样本平均数的抽样分布特点（1）正态总体抽样的样本平均数定理若随机变量X服从正态分布X～?(?,?2)，?,1?2，…，??是X的随机变量，则：样本平均数?=(??)服从平均数为?，方差为?2/n的正态分布，?即：?~?（μ,σ2/2）。t分布&t检验（2）样本平均数差异的分布假设:?~?(?,?2)随机抽样?1111?~?(?,?2)随机抽样?2222则:从两个独立正态总体中抽出的独立样本平均数差数(?1−?2)的分布也是正态分

5、布，即：(?−?)~N(?-?,?2?+?2?)12121122注意：两个独立样本平均数进行比较时,要根据总体的方差已知还是未知，以及两个总体的方差是否相等，选用不同的检验统计量。t分布&t检验（3）任意样本平均数的极限分布中心极限定理：如果被抽样本总体不是正态分布，但具有一定的平均数?和方差σ2，则随样本容量n的不断增大，样本平均数?的分布越来越趋近于正态分布，且具有平均数?和方差σ2/n，这就是中心极限定理。中心极限定理应用:该定理对于连续性变量或非连续性变量都适用。不论总体为何种分布,一般只要样本容量n≧30,属于

6、大样本,就可以用中心极限定理,认为样本平均数?的分布是正态分布。t分布&t检验2样本标准误??=?的大小反映样本平均数??的抽样误差的大小,即精确性的高低。值越小越精确。可用样本标准差S估计σ，即有：222S(xx)x(x)/nSxnn(n1)n(n1)标准差S和样本标准误??区别样本标准差反映观察值x1x2…xn等变异程度，与?代表性强弱有关。大样本资料用?±?表示。样本标准误??是?抽样误差的估计值，反映了样本间变异程度的大小及?精确性。小样本用?±??表示。t分布&t检验3t分布（1）定义?1

7、,?2，…，??(n≧2)相互独立，且都2(?−?）（?−?）服从?(?,?),则变量?==(t值)服????从自由度df=n-1的t分布，记作T～t(n-1)。2df11[(df1)/2]tt分布的密度函数f(t)(1)2df(df/2)df平均数和标准差μt＝0(df>1)，tdf/(df2)(df>2)图4-13不同自由度的t分布密度曲线t分布&t检验（2）t分布的性质t分布曲线是左右对称的单峰曲线，以平均数??=0向两侧递降。t分布受自由度df=n-1的制约，每个自由度都有一条t分布曲线

8、。t分布比正态分布离散度大，顶部偏低，尾部偏高，尤其是自由度小的t分布更为明显。当自由度df>30时，t分布比较接近正态分布曲线；当df→+∞时，则和正态分布曲线吻合。t分布&t检验（3）t检验的适用条件已知一个总体均数；可得到一个样本均数及该样本标准差；样本来自正态或近似正态总体。（4）t分布两尾概率表（