弹跳球运动的理论分析与数值研究

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1、第25卷第6期大学物理Vol.25No.62006年6月COLLEGEPHYSICSJune.2006弹跳球运动的理论分析与数值研究夏清华,张建华,杨德军(襄樊学院物理系,湖北襄樊441053)摘要:建立了弹跳球运动的二维映射关系式,利用非线性动力学的原理和方法,在不同的控制参数条件下,研究了系统二维映射式不动点的稳定性;数值模拟的结果显示,系统在不同的控制参数条件下具有不同的运动特征.关键词:弹跳运动;映射;稳定性中图分类号:O313文献标识码:A文章编号:100020712(2006)0620016204

2、近年来,人们对一个刚性小球在作周期性振动则由式(1)、(2)以及u(t)=aωcosωt可得[1～3]的台面上的弹跳运动表现出极大的兴趣,文献2v(tn)xn+1=ωtn+1=ωtn+=[3]还给出了一个电子实验电路,模拟了这样一个简g2v(tn)单的力学系统从规则运动到无规则运动的各种动力ωtn+ω=xn+yng学行为.本文通过建立弹跳球运动的二维映射关系2v(tn+1)2ω式,利用非线性动力学的原理和方法,在不同的控制yn+1=ω=[-Kv1(tn+1)+gg参数条件下,研究了系统二维映射式不动点的稳定v

3、(tn)(1+K)u(tn+1)]=-2Kω+性.数值模拟的结果显示,系统在不同的控制参数条g2件下具有不同的运动特征.2aω(1+K)v(tn)cosωtn+2ω=gg1弹跳球运动的二维映射关系式2aω2(1+K)-Kyn+cos(xn+yn)g一个小球自由落向一振动台,此振动台的运动22aω(1+K)规律为x=asinωt,速度为u(t)=Ûx=aωcosωt.令β=g>0设小球与振动台第n次相碰撞的时刻为tn,小球碰则有:前的速度为v1(tn),碰后的速度为v(tn).由于振动xn+1=xn+yn(mo

4、d2π)(3)台的质量远大于小球的质量,故可以认为在碰撞前yn+1=-Kyn+βcos(xn+yn)(mod2π)后振动台的速度不变,均为u(tn).若恢复系数为式(3)即为弹跳球运动的二维映射关系式.K,则有2稳定性分析u(tn)-v(tn)K=(1)v1(tn)-u(tn)令xn+1=xn,yn+1=yn,得式(3)的两个不动点假设振动台振幅a很小,并假定空气阻力可忽π3π为F1,0,F2,0,则不动点F1的雅可比矩略不计,在此情况下,小球与振动台第n+1次碰撞22阵为前的速度v1(tn+1)同小球与振动

5、台第n次相碰后的速度v(tn)近似相等,即v1(tn+1)≈v(tn),根据5xn+15xn+15xn5yn11自由落体运动公式可得J1==5yn+15yn+1-β-K-β1v1(tn+1)=v(tn)=g(tn+1-tn)5xn5ynπ,0222v(tn)(2)故J1的阵迹为p1=trJ1=1-K-β,行列式为q1则有tn+1-tn=g=detJ1=-K.2v令x=ωt,y=ωg不动点F2的雅可比矩阵为收稿日期:2004-12-31;修回日期:2006-02-24作者简介:夏清华(1963—),男,湖北鄂州

6、人,襄樊学院物理系教授,主要从事非线性动力学研究.第6期夏清华等:弹跳球运动的理论分析与数值研究175xn+15xn+11-λ1=05xn5yn11-β-K-β-λJ2==5yn+15yn+1β-K+β决定,即λ2-(1-K-β)λ-K=0,故5xn5yn3π,0221-K-β+(1-K-β)+4Kλ1=故J2的阵迹为p2=trJ2=1-K+β,行列式为2q2=detJ2=-K.1-K-β-(1-K-β)2+4Kλ2=[4]22.1稳定条件根据线性代数理论,当矩阵J的本征值λ1,λ2λ1,λ2为两实数.存在且

7、为实数时,总可以找到一个坐标变换,使JJ2的本征值可由本征值方程化成标准形式1-λ′1=0λ10β-K+β-λ′20λ2决定,即λ′-(1-K+β)λ′-K=0,故2在新坐标系中,迭代方程的映象将化为1-K+β+(1-K+β)+4Kλ′1=2un+1=λ1un2vn+1=λ2vnλ′1-K+β-(1-K+β)+4K2=2当-1<λ1,2<1时,不动点渐近稳定.任一

8、λ1,2

9、>λ′1,λ′2为两实数.因为β>0,0

10、λ2

11、>1时,不动点失稳.当某一个

12、λ1,2

13、=1,另一个

14、λ1,21,λ′1>

15、1,故不动点F1,F2均失稳.

16、<1时,是分岔点.2.4数值模拟及弹跳球运动情况分析2.2K=1时不动点的稳定性分析当恢复系数K=1时,弹跳球与振动台面发生完当K=1时,表示小球与振动台面碰撞时无能全弹性碰撞,弹跳球的运动能量无损耗,式(3)为保面量损耗,此时q1=q2=-1,表示式(3)是保面积二积二维映射.数值计算的结果显示:ω值较小时,弹跳维映射.球的速度v呈现周期运动,与振动台的周期相同,称