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1、第14卷第3期辽宁工学院学报Vol.14No.31994年9月JOURNALOFLIAONINGINSTITUTEOFTECHNOLOGYSep.1994平行板电容器边缘效应的研究谷长寿张颖曹力生(辽宁工学院)(锦州师范专科学校)摘要利用施瓦兹—克利斯多菲变换,得出平行板电容器的静电场中的电势,进而讨论了边缘处的电荷分布、电场分布和电势分布。关键词平行板电容器;施瓦兹—克利斯多菲变换;边缘效应分类号TM532.3涉及到平行板电容器时,一般均把它作为极板上电荷均匀分布,内部电场也为均匀分布的系统,而忽略掉边缘效应。那么,在边缘处究竟发生了什么?在那里,电荷、电
2、场究竟是如何分布的呢?1平行板电容器边缘效应设平行板电容器为有限宽,无穷长的方形,只有两个边缘。由于对称性,只研究其一端的边缘。为方便,将此边位于x=0处,且使板的中心位于x→-∞处。设电容器上极板位于y=d/2处,下极板位于y=-d/2处,上、下极板的电势分别为V0,-V0.这样半个平行板电容器的静电场所占据的空间可看作如图1中虚线表示的“四角形”ABCDA.其中AB同BC是重合的,为电容器上极板;CD同DA也是重合的,为电容器下极板。在顶点B,C,D偏转角分别为-,+,-,由施瓦兹—克利斯多菲变换,可得Z平面到平面的变换关系[1,2]为dZ=(e
3、++1)(1)2平面的平行板电容器的静电场中的电势V为V0V0V==Im()即电势V可认为是解析函数W的虚部,W=u+iv=V0,把此式代入式(1),有图1平行板电容器的静电场dWZ=(eV0+W+1)(2)2V0本稿1993年8月24日收到。谷长寿:男,1958年生,讲师。锦州市士英街169号,辽宁工学院基础科学部物理教研室,邮编121001.1994年(总第47期)谷长寿等:平行板电容器边缘效应的研究81此式的实部和虚部分别为dudux=(eV0cosv++1);y=(eV0sinv+v)(3)2V0V0v2V0V0
4、22V2V2dWudV考察电场强度E的大小,有E=Ex+Ey=(-)+(-),因=+i,xydZxdxuVdWVVdZ12V0由科西—里曼方程=,则=+i,所以有E=1/=.把W=xydZyxdWeVWd0+1u+iv代入上式,得2uu-12V0E=(eV0+2eV0cosv+1)2(4)V0d考虑极板上的电荷分布。因电荷面密度!=∀0E,且在上极板上,V=V0,由式(4)得12V012∀0V0!=∀0=(5)2ud1-eVudeVV+100u-2e0由式(3)知,内表面自C→B时,u→-0,外表面自A→B时,u→+
5、0.边缘效应主要发生2u12在边缘附近,因此u的绝对值很小。故eV0=1+u+2u+⋯中只取到第三项,代入式V02V02212(3)中,有x=-2u,因x本身为负的,故d2V02V0xu=±(6)d以后,只关心x的绝对值,即考察处离边缘的距离。把式(6)代入式(5)中,可分别获得上极2∀0V0板内、外表面的电荷分布。令!0=为忽略边缘效应时平行板电容器极板上的电荷面密d度,则有!0!0!内=;!外=(7)xx-221-ed1-ed式中x为所求点到边缘的距离;d为二极板的间距。可以看到,在电容器深处,即当x→∞时,!内→!0,!外→0;而在B点附
6、近,x→0,!内、!外均趋于无穷大。由式(7)得内表面边缘附近的一些典型数据如表1,外表面边缘附近的典型数据如表2.表1内表面边缘附近的典型数据由表1、表2可见,当x/d00.00010.010.51.02.04.0!内/!0∞28.71243.3501.088781.02971.00671.00083x/d=0.5时,边缘效应已不表2外表面边缘附近的典型数据明显。x/d00.00010.010.51.02.04.02电容器内部的场强!外/!0∞27.71242.3500.08880.02970.006690.000834因平行板电容器的二极板间距d一般很小,
7、为简单计,可认为内部的u值与极板上的u2V0x值接近,也有u=-,代入式(4)中,有dxx0E=(e-4d+2e-2dcosV+1)-12V(8)V0d可见,在电容器内部深处,x→∞,E=E0=2V0/d,这正是通常忽略边缘效应时所得的场82辽宁工学院学报第14卷第3期强。当V≤V0/2时,随着x的减小,EV0/2时:随着x的减小,E达极大值后下降,其最大值12V0为E=>E0;当x一定时,随V的增加,E也增加。dsinvV03电容器内等势线2V0x把u=-代入式(3)中,
8、有ddxy=(e-2dsinV
