华中师范大学数学物理方法第2章作业及答案

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1、第二章级数的基本性质2-1复变函数的级数1.求下列幂级数的收敛半径：¥kz（1）åk=1k¥kzk（2）å()zi-k=1k!¥2k（3）åzk=1¥k!k（4）åkzk=1k¥kk（5）åkz(-5)k=1¥2kk（6）åqz其中q<1k=11k-1k1解：(1)R=lim=lim==lim1k®¥11kk®¥k-1®¥1-kk1(k-1!)k1(2)R=lim=lim==lim1k®¥11kk®¥k-1®¥1-()kk!1(3)R==lim1k®¥1(k-1!)k-1kk-1(k--1)(kk1!)æök(4)R=lim==limli

2、mç÷k-1k®¥k!kk®¥(kk-1!)®¥èøk-1kknnæn+11öæö令kn-=1，则Re=limç÷=lim1ç÷+=kk®¥ènnø®¥èø11（5）R=lim==lim0kk®¥kkk®¥k（6）当q<1时ln0q<111-kqln故Re=lim=lim=lim=lim=¥k®¥kk®¥k2kk®¥k®¥akqkq2.证明：对幂级数逐项积分或逐项求导，不改变其收敛半径。¥kak解:设幂级数为S()z=-åak(zb)其收敛半径为R=limk®¥ak=0k+1¥k-1逐项积分后，S1()z=-åakk(zb)的收敛半径为k

3、=1akakkkRR=lim==limlim1k®¥akk++11(k++11)kk®¥ak®¥¥akk+1逐项积分后，S2()z=å(z-+bc)的收敛半径为k=0k+1akk(+2)akk+2RR=lim==limlim2k®¥akk++11(k++11)kk®¥ak®¥3.利用级数（2-2-16）导出下列函数在z=0领域内的幂级数展开式，并指出收敛范围：1（1）（ab,为复数，且b¹0）；azb+11111¥an¥anæönnn解：=a=×=åç÷-z=å(-×1)n+1zazb+bz×+(1)béùabbn=0èøn=0b1--(

4、)zbêúëûbn-1ann-+11Rbnab×bb=limn=limnn=lim=n®¥an®¥ba×n®¥aan+1bb故，收敛范围为z

5、

6、=lim

7、1-=

8、1nn®¥nn®¥所以收敛范围是

9、z

10、1<.an-14.证明：如果lim存在，则下列三个幂级数有相同的收敛半径：n®¥annann+1n-1åazn，åz，ånaznnnn+1nan-1证明：R=1

11、limn®¥anan-1an+1aa1ann-1nn--11n-1R===+=2limalimlimlimn®¥nn®¥nann®¥annnan®¥ann+1(n-1)aa1aan-1n-1nn--11R==-=3limlimlimn®¥nannn®¥annaann®¥an-1由题设条件存在，故有R==RR，故三个幂级数有共同的收敛半径。lim123n®¥an第二章级数的基本性质2-2复变函数在解析区域中的幂级数展开泰勒级数鞍点1.求sinz和cosz在z=0的领域的泰勒展开式，讨论其收敛区域，并验证：ize=+coszizsiniz-i

12、zee-1ix-ixsinz==-()ee解：（i）由欧拉公式有22ii2nzzzz由e=1+++LL++1!2!!n22nn-iz(--iz2)(izn)iziziziz-iz则e=1+++LL++，e=1+++LL++1!2!!n1!2!!n所以iz-iz22nn22nnne--e1éùiziziziziz(1)izsinz==êú11+++L++L-+--LL--2i2iëû1!2!nn!1!2!!3521n+zzzzn=-++LL+(-+1)1!3!5!(2n+1!)¥21n+nz=-å(1)n=0(2n+1!)1R=liméùë

13、û2(n-+1)1!=¥即收敛区域为全平面。n®¥1(2n+1!)（ii）因为2neiz+-e-iz1éùizi22zinnziz(--iz)(iz)cosz==êú11+++L++L++++LL+-22êúëû1!2!nn!1!2!!2462nzzzzn=11-+-+LL+(-)×+2!4!6!(2!n)¥2nnz=-å(1)n=0(2!n)收敛区域为全平面。22nnnéù242iznizizizzzz因为，e=1+++L++L=êú1-+-LL+(-+1)1!2!nn!ëû2!4!(2!)éù3521n+zzzzn+iêú-+-L+-

14、(1)ëû1!3!5in(2+1!)¥¥2nn21+nnzz=åå(-1)+i(-1)=+coszizsinnn==00(2nn)!(2+1!)2.将下列函数展开成泰勒级数，并说明其收敛区域：