信号的时域分解和卷积积分

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1、第三章信号的时域分解§3-1引言线性系统分析方法，是将复杂信号分解为简单信号之和（或积分），通过系统对简单信号的响应求解系统对复杂信号的响应。在时域中，近代时域法将信号分解为冲激信号的积分，根据系统的冲激响应通过卷积计算出系统对信号的响应。而在频域法中，我们将信号分解为一系列正弦函数的和（或积分），通过系统对正弦信号的响应求解系统对信号的响应。频域在工程中也有很重要的意义。很多信号的特性与频域都有很重要的关系。研究频域可以得到很多具有实用价值的结论。如上章所述，通过信号分解的方法求解响应要研究下面几个问题：1）如何将任意信号分解为一系列正弦信号之和（或积分）。2）求系统对各个

2、正弦子信号的响应，这个内容在电路分析课程中已经有详细介绍；3）将各子信号的响应相叠加，从而合成系统对激励信号的响应。本章将要研究的就是如何对信号进行分解和合成。§3-2信号在正交函数集中的分解为了形象地说明信号的分解，首先我们讨论矢量的分解。一、矢量的分解1、矢量的定义2、矢量运算：加，标量乘法，矢量乘法3、矢量的分解：1）矢量的单矢量基的分解：c1A1近似矢量A——误差尽可能小。A=c1A1+ε从几何或者解析角度，都可以得到使误差最小的系数为：AAc=11AA11其中的c1称为矢量A和A1的相似系数。如果c=0（或AA=0），则表明A和A相垂直（又111称为正交）。2）矢量

3、的多矢量基分解：将矢量表示成为一系列标准矢量（基）的线性组合：nA=c1A1+c2A2+...+cnAn=∑ciAii=1µ显然，如果知道了标准矢量Ai和响应的系数ci，就可以确定任意矢量。µ如何确定最佳的系数ci？情况比较复杂，对于特定的i而言，ci不仅与特定的Ai有关，与其它的标准矢量也有关系。但是如果矢量Ai两两正交，可以证明：AAic=iAAii4、标准矢量基的几个限制条件：1）归一化：标准矢量的模等于1——方便计算2）正交化：标准矢量两两正交3）完备性：可以不失真地组合出任意矢量二、信号的分解与矢量分解相似，我们也可以推导出信号分解。1、单个标准信号下的分解：在时间

4、区间(t1,t2)内，用c1f1(t)近似任意函数f(t)，并使误差进可能小。1）如何衡量函数误差的大小？可以采用方均误21t22ε(t)=ε(t)dt差：∫tt−t121t2f(t)f(t)dt∫1t1c=1t2）最佳系数：2（也称为函数f(t)f(t)dt∫11t1f(t)和f(t)的相似系数。1t23）如果c1=0（或∫tf(t)f1(t)dt=0），则称f(t)1和f1(t)正交。4）如果f(t)和f1(t)是复函数，则其方均误差为：21t221t2*ε(t)=∫ε(t)dt=∫ε(t)⋅ε(t)dtt−tt1t−tt12121最佳系数为：t2*f(t)f(t)dt∫

5、1t1c=1t2*f(t)f(t)dt∫11t12、多个标准信号下的分解：将信号表示为多个标准信号的线性组合：nf(t)=c1f1(t)+c2f2(t)+...+cnfn(t)=∑cifi(t)i=1这里的ci同样难以确定。但是如果标准函数fi(t)之间两两正交，则可以证明：t2*f(t)f(t)dt∫it1c=it2*f(t)f(t)dt∫iit1例：标准信号集：23k泰勒级数1,x,x,x,...,x,...，三角函数：1,cost,sint,cos2t,sin2t,...,coskt,sinkt,...3、对标准信号集的要求：t2*ftftdt=1）归一化：∫i()i(

6、)1t1t2*ftftdt=，i≠j2）正交化：∫i()j()0t13）完备性：可以用其线性组合表示任意信号。完备正交函数集一般都包含无穷多个函数，例如：三角函数集，沃尔什函数集等。但在实际应用中不可能用无穷多个，只可能用有限个函数，只能近似表示任意函数。附：矢量与函数的运算与分解比较：矢量函数加法A+Af(t)+f(t)1212标乘c⋅Ac⋅f(t)21乘法A⋅At2*12f(t)⋅f(t)dt∫12t1=A⋅Acosα12正交A⋅A=0t2*12f(t)⋅f(t)dt=0∫12t1归一A=1t2*∫f(t)⋅f(t)dt=1t1误差ε=A−Aε(t)=f(t)−f(t)1

7、212误差21t2εε2(t)=∫ε2(t)dt代价tt−t121函数系数A⋅At2*c=1f(t)f(t)dt1∫t1A⋅Ac=1111t2*f(t)f(t)dt∫11t1§3-3信号表示为傅利叶级数傅利叶级数是最常用的一种正交函数集。它在工程中有很广泛的用途。一、三角函数形式的傅利叶级数这种正交函数集为：{}1,cosΩt,sinΩt,cos2Ωt,sin2Ωt,...,coskΩt,sinkΩt,...2π2πΩ==其中：Tt−t21或将正交函数集表示为：{}cos(nΩt),sin(nΩt)n=