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1、数据、模型与决策Data,ModelsandDecisions线上课程：课程回顾复旦大学管理学院统计学系DMD线上课程课程回顾,2015.8.23.课程回顾¢概率论基础¢基本概念与概率计算¢随机变量及其概率分布¢离散型随机变量¢连续型随机变量¢随机变量及其数字特征¢极限定理基本概念¢概率论是一种描述并分析随机性与不确定性的科学语言¢将不确定性看作随机试验：可重复、不确定¢随机试验两大要素：样本点(样本空间)+样本点的概率例1：掷一颗均匀的骰子出现的结果样本点：1，2，3，4，5，6概率：1/6,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6¢三种概率分配法：古典法、频数估计法、主观估计法¢(随机)事
2、件：若干样本点构成的集合例1续：A={掷出偶数点}={2,4,6}；P(A)=1/2概率计算¢概率计算公式：样本空间c¢公式1：P(A)+P(A)=1cAA样本空间¢公式2(2(加法公式)：ABP()A∪B=P(A)()()+PB−PA∩BP(A∩B)¢公式3(条件概率)：P()A
3、B=P()B(乘法公式)：P(A∩B)=P(A
4、B)×P(B)P(A∩B)()=PB
5、A×P(A)¢如果A与B相互独立，P(A
6、B)=P(A)P(A∩B)()()=PA×PBP(B
7、A)=P(B)概率计算习题某地方银行对其信用卡制度进行审核并考虑收回部分信用卡。过去，大约有5%的信用卡持有者不履行债务并造成银行无
8、法收回的坏账。因此，管理层认为某特定信用卡持有者不履行债务的先验概率为0.05。该银行还发现，最终履行债务的信用卡持有者有0.20的概率会拖欠到一个月后支付。当然，对于不履行债务的信用卡持有者，拖欠1个月支付的概率为1。a.如果某个信用卡持有者已欠款一个月以上，计算他将不履行债务的后验概率。b.如果某个信用卡持有者不履行债务的概率超过0.20，银行就将收回其信用卡。如果某信用卡持有者已欠款一个月，银行是否会收回其信用卡？为什么？c翻译A1={信用卡持有者不履行债务}A2={信用卡持有者履行债务}=A1B={信用卡持有者拖欠一个月后支付}P(B
9、A1)=1P(B
10、A2)=0.2P(A1)=0.
11、05P(A2)=1−P(A1)=0.95P()B=P()B∩A+P(B∩A)=P(B
12、A)×P(A)()()+PB
13、A×PA=0.24121122P()A1
14、B=P()A1∩B=P()B
15、A1×P(A1)=1×0.05=0.208(>0.20)P()BP()B0.24也可以直接用贝叶斯公式随机变量¢我们用随机试验来描述不确定现象，当随机试验可能出现的试验结果为数值时，我们将可能的试验结果称为随机变量，通常用大写英文字母X、Y或Z等来表示¢有些随机变量是自然的，有些是人为赋值的例2：随机变量的例子X=掷一颗均匀的骰子出现的点数Y=银行某天开业后前两位顾客达到时间之差Z=小张面对市场的结果(0表
16、示疲软、1表示坚挺)¢随机变量按其取值特征可分为两类¢离散型：可以取有限多个(至多可列)数值¢连续型：可以在某一区间或多个区间任意取值离散型随机变量¢随机变量的概率分布是描述随机变量取不同值的概率¢对于离散型随机变量X，其概率分布即为离散型概率分布，通过概率函数来定义，记为f(x)¢列出离散型随机变量的所有可能取值¢列出取每个可能值的概率可能的取值：x1,x2,L,xnf(xi)=P(X=xi)概率：f(x),f(x),L,f(x)n12n∑=f(x)=1i1i例2续：X=掷一颗均匀的骰子出现的点数可能的取值：1,2,3,4,5,6概率：1/6,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6离散型概
17、率分布离散型随机变量：二项分布¢随机变量X=n次独立试验(每次成功概率均为p)中成功的次数¢X的概率分布称为参数为n与p的二项概率分布，记作X~Binomial(n,p)可能的取值：x=0,,,,1,2,……,,nn!概率：P(X=x)=px(1−p)n-xx!(n−x)!习题据TDAmeritrade进行的一项调查，有1/4的投资者在其投资组合中有交易所交易基金（USAToday,2007.1.11）。考虑20名投资者组成的一个样本。b.计算至少有两名投资者在其投资组合中有交易所交易基金的概率；c.如果你发现恰有12名投资者在其投资组合中有交易所交易基金，你会对调查结果的精确度产生质疑吗？
18、翻译定义X=20名投资者中投资组合有交易基金的人数X~Binomial(20,0.25)b.P()X≥2=1−P(X=0)()−PX=1=0.9757连续型随机变量：密度函数¢连续型：可以在某一区间或多个区间任意取值¢连续型随机变量概率分布的刻画：概率密度函数(probabilitydensityfunction)f(x)连续型随机变量X的密度函数f(x)0.2P(a≤X≤b)曲线下总005.15面积=10.
