2011.11发表于《考试报》

《2011.11发表于《考试报》》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、2011.11发表于《考试报》三角与向量齐飞四心共轮换一式江苏省射阳中学数学组孙宏坤本文运用向量方法先给出三角形三线共点的一个轮换式表示，进而给出三角形重心、内心、垂心、外心的几组轮换式向量表示。为了行文方便，本文中的图形与符号统一如下，如图，在△ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别记为a,b,c,点D、点E、点F分别在直线BC、AC、AB上，且点D、E、F与△ABC的顶点不重合，直线AD、BE、CF交于一点G，，，，，，，点O为空间任意一点。结论1（※）.证明：设，，由平面向量基本定理设,∵，∴，则，，而,，由共线向量定理，存在唯一实数使得，即，则且，消去得…

2、…………①，又由同上可得……………②，由①②联立解得，，设,,,则……………③，将，，代入③得…④，而…………⑤，4由塞瓦定理有…………⑥，∵，，∴，∴…………⑦，∵，，∴…………⑧，将⑥⑦⑧代入⑤得……⑨，同理可得……⑩，将⑨⑩代入④即得，证毕。说明：由空间向量基本定理，当点O在△ABC所在平面外时，（※）式中向量的表示唯一。结论2①G为△ABC的重心；②G为△ABC的内心；③G为△ABC（斜三角形）的垂心；④G为△ABC的外心.证明：①G为△ABC的重心，代入（※）式即得；②若G为△ABC的内心，则CF为∠C的平分线，由正弦定理在△ACF与△BCF中分别有，，两

3、式相除可得，即，同理可得，，，，，代入（※）式化简即得；③若G为△ABC（斜三角形）的垂心，则，∴，同理可得,,,,,代入（※）式化简即得；4④若G为△ABC的外心，则,由正弦定理,而,同理,∴，同理可得，,,,,代入（※）式化简即得.以上为结论2的充分性证明，关于必要性的证明由同一法易得，限于篇幅，不在赘述。证毕。在结论2中，取点O为点G，化简即得下面的结论3.结论3①G为△ABC的重心；②G为△ABC的内心；③G为△ABC（斜三角形）的垂心；④G为△ABC的外心.在结论2中，取点O为点A，化简即得下面的结论4.结论4①G为△ABC的重心；②G为△ABC的内心；③

4、G为△ABC（斜三角形）的垂心；④G为△ABC的外心.说明：由平面向量基本定理，结论4中向量的表示唯一。在结论2中，取点O为平面直角坐标系中坐标原点，化简即得下面的结论5.结论5在平面直角坐标系中，，，，点，则①G为△ABC的重心，；②G为△ABC的内心，；4③G为△ABC（斜三角形）的垂心，；④G为△ABC的外心，.对联作结，以飨方家——“一点生四心，心心相印；四心归一式，式式轮换.”参考文献：1李昭平.三角形"四心"的向量式充要条件及其应用.广东教育（高中版），2006，032蔡明.用向量的观点看三角形的"四心"问题.数学教学研究，2007，023张海娟.三角形

5、"四心"的向量表示.中学数学杂志（高中版），2008，054