专题18直角三角形（吴梅录入）

《专题18直角三角形（吴梅录入）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、中高考找才子始建于1998年专题18直角三角形(吴梅录入)阅读与思考从代数角度，考察方程的正整数解，古希腊人找到了这个方程的全部整数解：其中，是自然数，，，一奇一偶.17世纪，法国数学家提出猜想：当时，方程无正整数解.1994年，美国普林斯顿大学教授维尔斯证明了费尔马猜想.直角三角形是一类特殊三角形，有以下丰富的性质：角的关系：两锐角互余；边的关系：斜边的平方等于两直角边的平方和；边角关系：所对的直角边等于斜边的一半.这些性质广泛应用于线段计算、证明线段倍分关系、证明线段平方关系等方面.在现阶段，勾股定理是求线段

2、的长度的主要方法，若图形缺少条件直角条件，则可通过作辅助垂线的方法，构造直角三角形为勾股定理的应用创造必要条件；运用勾股定理的逆定理，通过代数方法计算，也是证明两直线垂直的一种方法.熟悉以下基本图形基本结论：例题与求解【例l】（1）直角△ABC三边的长分别是，和5，则△ABC的周长＝_____________.△ABC的面积＝_____________.（2）如图，已知Rt△ABC的两直角边AC＝5，BC＝12，D是BC上一点，当AD是∠A的平分线时，则CD＝_____________.（太原市竞赛试题）解题思路

3、：对于（1），应分类讨论；对于（2），能在Rt△ACD中求出CD吗？从角平分线性质入手.【例2】如图所示的方格纸中，点A，B，C，都在方格线的交点，则∠ACB＝（）A.120°B.135°C.150°D.165°中高考找才子始建于1998年（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：方格纸有许多隐含条件，这是解本例的基础.【例3】如图，P为△ABC边BC上的一点，且PC＝2PB，已知∠ABC＝45°，∠APC＝60°，求∠ACB的度数.（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：不能简单地由角的关系推出∠ACB的度数，综合运用条件

4、PC＝2PB及∠APC＝60°，构造出含30°的直角三角形是解本例的关键.【例4】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，分别以AB，AC为边在△ABC的外侧作等边△ABE和等边△ACD，DE与AB交于F，求证：EF＝FD.（上海市竞赛试题）解题思路：已知FD为Rt△FAD的斜边，因此需作辅助线，构造以EF为斜边的直角三角形，通过全等三角形证明.【例5】在证明含有线段平方之间的和（差）关系时，常常要联想到勾股定理，若图中缺少直角条件，则可通过作辅助线，构造直角三角形.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝3

5、0°，∠ADC＝60°，AD＝CD，求证：中高考找才子始建于1998年（北京市竞赛试题）解题思路：由待证结论易联想到勾股定理，因此，三条线段可构成直角三角形，应设法将这三条线段集中在同一三角形中.【例6】在运用勾股定理时，常常对进行变形，运用乘法公式、整数与方程知识综合求解.斯特瓦尔特定理：如图，设D为△ABC的边BC上任意一点，a，b，c为△ABC三边长，则.请证明结论成立.解题思路：本题充分体现了勾股定理运用中的数形结合思想.能力训练A级1.在很多情况下，需要由线段的数量关系去判断线段的垂直位置关系，这就要熟

6、悉一些常用的勾股数组.如图，D为△ABC的边BC上一点，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，则BC＝_____________.2.如图，在Rt△ABC中∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于E，DE是斜边AB的垂直平分线，且DE＝1cm，则AC＝_____________cm.3.如图，四边形ABCD中，已知AB∶BC∶CD∶DA＝2∶2∶3∶1，且∠B＝90°，则∠中高考找才子始建于1998年DAB＝_____________.（上海市竞赛试题）4.如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，边B

7、C上的中线AD＝6，则BC的长为_____________.（湖北省预赛试题）5.如果一个三角形的一条边是另一条边的2倍，并且有一个角是30º，那么这个三角形的形状是（）A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.不能确定（山东省竞赛试题）6.如图，小正方形边长为1，连结小正方形的三个顶点可得△ABC，则AC边上的高为（）A.B.C.D.（福州市中考试题）7.如图，一个长为25分米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距墙底端7分米，如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑（）A.15分米B.9分米C.8分米D

8、.5分米中高考找才子始建于1998年8.如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝60°，AB＝4，AD＝5，那么等于（）A.1B.2C.D.9.如图，△ABC中，AB＝BC＝CA，AE＝CD，AD，BE相交于P，BQ⊥AD于Q，求证：BP＝2PQ.（北京市竞赛试题）10.如图，△ABC中，AB＝AC.（1）若P是BC边上中点，连结AP，求证：（2）P是BC边上