算数思维与代数思维的练习和区别-李翠萍

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1、算术思维与代数思维的联系和区别上传:李翠萍    更新时间：2013-8-179:48:49   研究期间，我们查阅了大量文献资料。国内外学者对算术与代数、算术思维与代数思维从不同层面给出了解释，并且都强调了培养早期代数思维的重要性。笔者对其中一些有代表性的观点作了梳理。   1.算术与代数   在古代数学研究者看来，“算术”与“代数”是不分家的。中国传统数学代表作《九章算术》，其内容就涉及数的运算、数论初步、方程、测量、面积、体积、勾股等算术、代数、集合等绝大部分初等数学知识。   随着学科分支的细化，算术与代数也逐渐被区分开来。在现代汉语词典中，“算术”一词被定义为：数学的

2、一个分支，是数学中最基础、最初等的部分。主要研究零和正整数、正分数和记数法，在加、减、乘、除、乘方、开方运算下产生的数的性质、运算法则以及在社会实践中的应用。“代数”则被定义为：数学的一个分支，用字母代表数来研究数的运算性质和规律，从而把许多实际问题归结为代数方程或方程组。在近代数学中，代数学的研究由数扩大到多种其他对象，研究更为一般的代数运算的性质和规律[。   根据犹塞斯金（usiskin,1989）的观点，学校代数包括四个方面：（1）代数作为一般化了的算术；（2）代数作为解决某种类型问题过程的研究；（3）代数作为数量之间关系的研究；（4）代数作为结构的研究。从广义上说，算

3、术和代数密不可分，算术是代数的基础，代数是算术研究的深入；从狭义上说，算术与代数存在区别，主要表现在研究对象不同：算术主要研究计数、数的性质和相关运算法则，具有抽象化、特殊化的特点；而代数则主要研究运算过程中产生的结构、关系，具有抽象化、一般化的特点，由此也带来了算术与代数学习中思维方式的不同。   2.算术思维和代数思维   （1）徐文彬教授在《试论算术中的代数思维：准变量表达式》中指出：“算术主要是由程序思维来刻画的。也即算术程序思维的核心是获取一个（正确的）答案，以及确定获取这个答案与验证这个答案是否正确的方法；而代数思维则是由关系或结构来描述的，它的目的是发现（一般化）

4、的关系、明确结构，并把它们连接起来[11]。”   （2）张丹教授在《小学数学教学策略》一书中指出：“代数思维的基本特征是用符号表示规律，表示量与量之间的相等、不等和变化关系；通过符号与符号之间的运算来‘一类一类’解决问题，进行一般性的运算和推理[3]。”   （3）壮惠铃、孙玲教授撰写的《从算术思维到代数思维》文章中指出：“从数学角度来看，算术思维是程序性的，着重的是利用数量的计算求出答案的过程。这个过程具有情境性、特殊性、计算性的特点，甚至是直观的。而代数思维是结构性的，侧重的是关系的符号化及其运算，是无法依赖直观的[5]。”   （4）苏州大学周颖娴在相关研究中总结出代数

5、思维的四大特征：   ①从表现形式看，代数思维是一种形式的符号操作。具体包括三个方面（鲍建生，周超，2009）：一是表征，即用符号或者有符号组成的代数式、方程、不等式、函数去表示数学（或他学科或现实生活）中的对象和结构；而是符号变换，即各种表征之间的等价或不等价的转化；三是意义建构，即解释或发现形式符号或表达式背后的数学结构或实际模型以及各种符号操作的意义与作用。②从思维形式上看，代数思维是一种基于规则的推理。③代数思维是一种数学建模活动。④代数思维的核心是一般化的思想。事实上，代数的本质就是发现处理问题的一般模式，因此，一般化的思想应该成为代数学习的基础。   通过分析算术思

6、维与代数思维在问题解决中的不同，斯黛西等人给出了这两种思维的区别：算数思维代数思维1.通过已知量的运算得出未知的量；2.通过一系列的、连续的运算得出答案；3.未知的量是暂时的，表示中间过程；4.方程（如果有的话）被看做是用于计算的公式，或者是对数的产生的一种描述；中间量有明确的含义。1.同时操作已知量和未知量；2.进行一系列的等价或者不等价的符号变换；3.在整个问题解决过程中，未知量是设定的、固定的；4.方程被看做是对不同量之间某种关系的描述；中间量不一定有明确的含义。   3.其他的一些重要观点。   （1）在《试论算术中的代数思维：准变量表达式》一文中，作者指出：“在卡彭特

7、和利维的研究中，他们曾给一、二年级的小学生介绍过“数字语句”的真假问题。即“78—49+49”是不是一个真语句。有专家把数字的这种运用定义为‘准变量（表达式）’。”   作者还说：“在算术教学中可以运用准变量对小学生进行代数思维的培养，并且有可能降低他们学习代数的困难。”   （2）在《从算术思维到代数思维》一文中，作者指出：“在算术思维中，表达式是一种思考的记录，是直接联接题目与答案的桥梁。在代数思维中，表达式不再是直接联接题目与答案之间的过程记录，同时也充当一个问题转译的角色。因此，从代