高考数学一轮复习考点题型课下层级训练35空间几何体的表面积与体积（含解析）

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1、课下层级训练(三十五)　空间几何体的表面积与体积[A级　基础强化训练]1．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的(　　)A．2倍　B．2倍　C．倍　D．倍【答案】B　[由题意知球的半径扩大到原来的倍，则体积V＝πR3，知体积扩大到原来的2倍．]2．在△ABC中，AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°(如图所示)，若将△ABC绕直线BC旋转一周，则形成的旋转体的体积是(　　)A．B．C．D．【答案】D　[依题意可知，旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥，如图所示，OA＝AB·cos30°＝2×＝，所以旋转体的体积为π·()2·(

2、OC－OB)＝.]3．(2019·山东东营模拟)表面积为24的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积是(　　)A．12πB．8πC．D．4π【答案】A　[设正方体的棱长为a，因为表面积为24，即6a2＝24，得a＝2，正方体的体对角线长度为＝2，所以正方体的外接球半径为r＝＝，所以球的表面积为S＝4πr2＝12π.]4．(2018·全国卷Ⅰ)在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为(　　)A．8B．6C．8D．8【答案】C　[如图，连接AC1，BC1，AC.∵A

3、B⊥平面BB1C1C，∴∠AC1B为直线AC1与平面BB1C1C所成的角，∴∠AC1B＝30°.又AB＝BC＝2，在Rt△ABC1中，AC1＝＝4，在Rt△ACC1中，CC1＝＝＝2，∴V长方体＝AB×BC×CC1＝2×2×2＝8.]5．(2017·全国卷Ⅱ)长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为________.【答案】14π　[∵长方体的顶点都在球O的球面上，∴长方体的体对角线的长度就是其外接球的直径．设球的半径为R，则2R＝＝.∴球O的表面积为S＝4πR2＝4π×2＝14π.]6．(2017·江

4、苏卷)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是________.【答案】　[设球O的半径为R，∵球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切，∴圆柱O1O2的高为2R，底面半径为R.∴＝＝.]7．现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________.【答案】　[设新的底面半径为r，由题意得πr2·4＋πr2·8＝π×52×4

5、＋π×22×8，解得r＝.]8．(2019·山东潍坊检测)已知正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，P﹣ABC的顶点都在球O的球面上，正三棱锥P﹣ABC的体积为36，则球O的表面积为________.【答案】108π　[∵正三棱锥P﹣ABC，PA，PB，PC两两垂直，∴此正三棱锥的外接球即以PA，PB，PC为三边的正方体的外接球O，设球O的半径为R，则正方体的边长为，∵正三棱锥P﹣ABC的体积为36，∴V＝×S△PAC×PB＝××××＝36，∴R＝3，∴球O的表面积为S＝4πR2＝108π.]9．如图(a)，在直角梯形ABCD中，∠ADC

6、＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体DABC，如图(b)所示．(1)求证：BC⊥平面ACD；(2)求几何体DABC的体积．【答案】(1)证明　在图中，可得AC＝BC＝2，从而AC2＋BC2＝AB2，故AC⊥BC，又平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC＝AC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥平面ACD.(2)解　由(1)可知，BC为三棱锥BACD的高，BC＝2，S△ACD＝2，∴VBACD＝S△ACD·BC＝×2×2＝，由等体积性可知，几何体DABC的体积为.[B级　

7、能力提升训练]10．(2017·全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为(　　)A．πB．C．D．【答案】B　[设圆柱的底面半径为r，球的半径为R，且R＝1，由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，r，R及圆柱的高的一半构成直角三角形．∴r＝＝.∴圆柱的体积为V＝πr2h＝π×1＝.]11．在三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC且PA＝2，△ABC是边长为的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为(　　)A．B．4πC．8πD．20π【答案】C　[由题意得，此三棱锥外接球即为以△ABC为

8、底面、以PA为高的正三棱柱的外接球，因为△ABC的外接圆半径r＝××＝1，外接球球心到△ABC的外接圆圆心的距离d＝1，所以外接球的半径R＝＝，所以三棱锥外接球的表面积S＝4πR2＝8π.]1