高级中学数学必修五总复习材料

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1、'*高中数学必修五总复习第一章解三角形一、基础知识在本章中约定用A，B，C分别表示△ABC的三个内角，a,b,c分别表示它们所对的各边长，为半周长。1．正弦定理：=2R（R为△ABC外接圆半径）。推论1：△ABC的面积为S△ABC=推论2：在△ABC中，有bcosC+ccosB=a.推论3：在△ABC中，A+B=，解a满足，则a=A.正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到，这里不再给出，下证推论。先证推论1，由正弦函数定义，BC边上的高为bsinC，所以S△ABC=；再证推论2，因为B+C=-A，所以sin(B+C)=sinA

2、，即sinBcosC+cosBsinC=sinA，两边同乘以2R得bcosC+ccosB=a；（换一种思路）再证推论4，由正弦定理，所以，即sinasin(-A)=sin(-a)sinA，等价于[cos(-A+a)-cos(-A-a)]=[cos(-a+A)-cos(-a-A)]，等价于cos(-A+a)=cos(-a+A)，因为0<-A+a，-a+A<.所以只有-A+a=-a+A，所以a=A，得证。2．余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA，下面用余弦定理证明几个常用的结论。（1）斯特瓦特定理【了解】：在△ABC中，D

3、是BC边上任意一点，BD=p，DC=q，则AD2=（1）【证明】因为c2=AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos，所以c2=AD2+p2-2AD·pcos①同理b2=AD2+q2-2AD·qcos，②因为ADB+ADC=，所以cosADB+cosADC=0，所以q×①+p×②得qc2+pb2=(p+q)AD2+pq(p+q)，即AD2=注：在（1）式中，若p=q，则为中线长公式（2）海伦公式：因为b2c2sin2A=b2c2(1-cos2A)=b2c2[(b+c)-a2][a2-(b-c)2]=p(p-a)(p-b)(p

4、-c).'*这里所以S△ABC=二、基础例题3．一个常用的代换：在△ABC中，记点A，B，C到内切圆的切线长分别为x,y,z，则a=y+z,b=z+x,c=x+y.例4（看一下就可以）在△ABC中，求证：a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)≤3abc.【证明】令a=y+z,b=z+x,c=x+y，则abc=(x+y)(y+z)(z+x)=8xyz=(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)=a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)-2abc.所以a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+

5、c2(a+b-c)≤3abc.4．三角换元。例5设a,b,c∈R+，且abc+a+c=b，试求的最大值。【解】由题设，（这个结构重要，看结构，想方法）令a=tanα,c=tanγ,b=tanβ,则tanβ=tan(α+γ),P=2sinγsin(2α+γ)+3cos2γ≤，当且仅当α+β=，sinγ=，即a=时，Pmax=三1．在△ABC中，cos2，c＝5，求△ABC的内切圆半径．【解析】：∵　c＝5，，∴　b＝4　　又cos2　　∴　cosA＝　　又cosA＝　　∴　　　∴　b2＋c2-a2＝2b2　　∴　a2＋b2＝c

6、2　　∴　△ABC是以角C为直角的三角形．　　a＝＝3　　∴　△ABC的内切圆半径r＝(b＋a-c)＝1．2．R是△ABC的外接圆半径，若ab＜4R2cosAcosB，则外心位于△ABC的外部． 【解析】：∵　ab＜4R2cosAcosB　　由正弦定理得a＝2RsinA，b＝2RsinB'*　　∴　4R2sinAsinB＜4R2cosAcosB　　∴　cosAcosB＞sinAsinB　　∴　cosAcosB-sinAsinB＞0　　∴　cos(A＋B)＞0　　∵　cos(A＋B)＝-cosC　　∴　-cosC＞0　　∴　c

7、osC＜0　　∴　90°＜C＜180°　　∴　△ABC是钝角三角形　　∴　三角形的外心位于三角形的外部． 　　3．半径为R的圆外接于△ABC，且2R(sin2A-sin2C)＝(a-b)sinB．　　(1)求角C； 　　(2)求△ABC面积的最大值． 【解析】：(1)∵　　　　　∵　2R(sin2A-sin2C)＝(a－b)sinB　　∴　2R［()2-()2］＝(a-b)·　　∴　a2-c2＝ab-b2　　∴　　　∴　cosC＝，∴　C＝30°　　(2)∵　S＝absinC　　＝·2RsinA·2RsinB·sinC　　＝

8、R2sinAsinB　　＝-［cos(A＋B)-cos(A-B)］　　＝［cos(A-B)＋cosC］　　＝［cos(A-B)＋］　　当cos(A-B)＝1时，S有最大值第二章数列一、基础知识定义1数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n，….数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{a