高考数学复习点拨 评说回归直线方程的方方面面‘

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1、评说回归直线方程的方方面面一、两个变量间的相关关系相关关系我们可以从下三个方面加以认识：　　（1）相关关系与函数关系不同．函数关系中的两个变量间是一种确定性关系．例如正方形面积S与边长x之间的关系就是函数关系．即对于边长x的每一个确定的值，都有面积S的惟一确定的值与之对应．相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系．例如人的身高与年龄；商品的销售额与广告费等等都是相关关系．　　（2）函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．例如有人发现，对于在校儿童，身高与

2、阅读技能有很强的相关关系．然而学会新词并不能使儿童马上长高，而是涉及到第三个因素——年龄，当儿童长大一些，他们的阅读能力会提高而且由于长大身高也会高些．　　（3）函数关系与相关关系之间有着密切联系，在一定的条件下可以相互转化．例如正方形面积S与其边长x间虽然是一种确定性关系，但在每次测量边长时，由于测量误差等原因，其数值大小又表现出一种随机性．而对于具有线性关系的两个变量来说，当求得其回归直线后，我们又可以用一种确定性的关系对这两个变量间的关系进行估计．　　相关关系在现实生活中大量存在，从某种意义上讲，函数关系是

3、一种理想的关系模型，而相关关系是一种更为一般的情况．因此研究相关关系，不仅可使我们处理更为广泛的数学应用问题，还可使我们对函数关系的认识上升到一个新的高度．二、回归分析　　对于线性回归分析，我们要注意以下几个方面：　　（1）回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法．两个变量具有相关关系是回归分析的前提．　　（2）散点图是定义在具有相关系的两个变量基础上的，对于性质不明确的两组数据，可先作散点图，在图上看它们有无关系，关系的密切程度，然后再进行相关回归分析．　（3）通过散点图的观察，一般地，若图中数据大

4、致分布在一条直线附近，那么这两个变量近似成线性相关关系．（4）求回归直线方程，首先应注意到，只有在散点图大至呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则，求出的回归直线方程毫无意义．三、回归直线方程一般地，设与具有相关关系的两个变量，且相应于n组观测值的n个点（（，），i=1，2，…，n）大致分布在一条直线的附近，求在整体上与这个点最接近的一条直线.记此直线方程为这里在y的上方加记号“＾”，是为了区分的实际值，表示当取值(时，相应的观察值为，而直线上对应于的纵坐是.(1)式叫做Y对的回归直线方程，叫做回归系数．

5、四、求回归直线方程的思想方法用心爱心专心在观察散点图特征时，发现各点大致分布在一条直线的附近，画出的直线不止一条类似的直线，而最能代表变量与之间关系的直线的特征，即为个偏差的平方和最小．设所求直线方程为，其中是待定系数，则（i＝1，2，…，n）于是得到各个偏差（i＝1，2，…，n）显见，偏差的符号有正有负，若将它们相加会造成相互抵消，故采用个偏差的平方和,采用最小二乘法可求出使为最小值时的和．，（﹡），其中五、求回归直线方程的一般步骤为：(1）作出散点图，判断散点是否在一条直线附近；（2）如果散点在一条直线附近，

6、用公式（﹡）求出，并写出回归直线方程．注:计算时由于计算量较大,所以在计算时应借助技术手段(如计算器)，认真细致，谨防计算中产生错误．例在10年期间，～城市居民收入与某种商品的销售额之间的关系见表1．表1(1）画出散点图；（2）如果散点图中各点大致分布在一条直线的附近，求与之间的回归直线方程；用心爱心专心（3）试预测居民年收入50亿元时这种商品的销售额．解题指导:只有散点图大致表现为线性时，求回归直线方程才有实际意义．解：（1）散点图如下图所示．(2）通过观察散点图可知各点大致分布在一条直线的附近．列出表2，利用

7、计算器进行计算．表2所以所求回归直线方程为:（3）根据上面求得的回归直线方程，当居民年收入50亿元时(万元)即这种商品销售额大约为56.l万元．评述与反思：计算时应仔细谨慎、分层进行，避免因计算错误产生误差．用心爱心专心