高二数学理寒假专题——椭圆与双曲线人教实验B版知识精讲

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1、高二数学理寒假专题——椭圆与双曲线人教实验B版知识精讲【本讲教育信息】一、教学内容：椭圆与双曲线二、教学目标：1、通过复习，掌握基本内容，基本方法，应用这些知识解决相关的问题2、熟练掌握知识的基本应用，会灵活运用知识解决综合问题.三、知识要点分析：1、椭圆的概念平面内与两个定点、的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。若为椭圆上任意一点，则有。[来源:学§科§网Z§X§X§K]椭圆的标准方程为：（）（焦点在x轴上）或（）（焦点在y轴上）。注：①以上方程中的大小，其中；②在和两个方程中都有的

2、条件，要分清焦点的位置，只要看和的分母的大小。例如椭圆（，，）当时，表示焦点在轴上的椭圆；当时，表示焦点在轴上的椭圆。2、椭圆的性质①范围：由标准方程知，，说明椭圆位于直线，所围成的矩形里；②对称性：在曲线方程里，若以代替方程不变，所以若点在曲线上时，点也在曲线上，所以曲线关于轴对称，同理，以代替方程不变，则曲线关于轴对称。若同时以代替，代替方程也不变，则曲线关于原点对称。所以，椭圆关于轴、轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与轴、轴的交点坐标。在椭

3、圆的标准方程中，令，得，则，是椭圆与轴的两个交点。同理令得，即，是椭圆与轴的两个交点。所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。同时，线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为和，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为；在中，，，，且，即；④离心率：椭圆的焦距与长轴的比叫椭圆的离心率。∵，∴，且越接近，就越接近，从而就越小，对应的椭圆越扁；反之，越接近于，就越接近于，从而越接近于，这时椭圆越接近于圆。当且仅当时，，两焦点重合，图形变为圆，方程为。3、双曲线的概念平面上与两点距离的差的

4、绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（）(*)。注意：①（*）式中是差的绝对值，在条件下；时为双曲线的一支（含的一支）；时为双曲线的另一支（含的一支）；②当时，表示两条射线；③当时，不表示任何图形；④两定点叫做双曲线的焦点，叫做焦距。4、椭圆和双曲线比较：椭圆双曲线定义方程焦点注意：如何由方程确定焦点的位置！5、双曲线的性质①范围：从标准方程，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线的外侧。，即双曲线在两条直线的外侧。②对称性：双曲线关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的

5、中心。③顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线的方程里，对称轴是轴，所以令得，因此双曲线和轴有两个交点，它们是双曲线的顶点。令，没有实根，因此双曲线和y轴没有交点。1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。2）实轴：线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长等于叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长等于叫做双曲线的虚半轴长。④渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看，双曲线的各支向外延伸时，与这两条

6、直线逐渐接近。[来源:学科网ZXXK]⑤等轴双曲线：1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：；2）等轴双曲线的性质：①渐近线方程为：；②渐近线互相垂直。注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。3）注意到等轴双曲线的特征，则等轴双曲线可以设为：，当时焦点在轴上，当时焦点在轴上。⑥注意与的区别：三个量中不同（互换）相同，还有焦点所在的坐标轴也变了。【典型例题】考点一：定义及标准方程例1、设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与

7、长轴上较近的端点距离为－4，求此椭圆方程.【解题思路】将题中所给条件用关于参数的式子“描述”出来【解析】设椭圆的方程为或，则解之得：，b=c＝4.则所求的椭圆的方程为或.【解析】准确把握图形特征，正确转化出参数的数量关系.【警示】易漏焦点在y轴上的情况.考点二：几何性质例2、已知双曲线C与双曲线－=1有公共焦点，且过点（3，2）.求双曲线C的方程.【解题思路】运用方程思想，列关于的方程组【解析】解法一：设双曲线方程为－=1.由题意易求c=2.又双曲线过点（3，2），∴－=1.又∵a2+b2=（2）2，∴a2=12，b2=8.故所求双曲线C的方程为

8、－=1.解法二：设双曲线方程为－＝1，将点（3，2）代入得k=4，所以双曲线C的方程为－＝1.【解析】求双曲线的方程，关键是求a、b，在