高二数学期末复习：导数人教实验版

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1、高二数学期末复习：导数人教实验版【本讲教育信息】一.教学内容：期末复习：导数二.学习目标：导数及其应用这部分内容，在近几年的高考中已成为一个热点，试题比重在逐年增加，题型从选择题、填空题到解答题均有涉及．选择题、填空题主要考查本章的基本公式和基本方法的应用，如求函数的导数，切线的斜率，函数的单调区间、极值、最值；解答题一般为导数的应用，包括解决应用问题，主要考查利用导数判断函数的单调性，在应用题中用导数求函数的最大值和最小值，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性、方程根的分布、解析几何中的切线问题等有机的结合在一起，设计综合试题。三.考点分析：

2、1.导数（导函数的简称）的定义：设是函数定义域的一点，如果自变量在处有增量，则函数值也引起相应的增量；比值称为函数在点到之间的平均变化率；如果极限存在，则称函数在点处可导，并把这个极限叫做在处的导数，记作或，即=．注：①是增量，我们也称为“改变量”，因为可正，可负，但不为零．②已知函数定义域为，的定义域为，则与关系为．2.函数在点处连续与在点处可导的关系：⑴函数在点处连续是在点处可导的必要不充分条件．⑵如果在点处连续，那么在点处可导，是不成立的．3.导数的几何意义：函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率4.求导数的四则运算法则：（为常数）5

3、.几种常见的函数导数：I.（为常数）（）II.III.求导的常见方法：①常用结论：．②形如或两边同取自然对数，可转化求代数和形式．③无理函数或形如这类函数，如取自然对数之后可变形为，对两边求导可得．6.函数单调性：⑴函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果＞0，则为增函数；如果＜0，则为减函数．⑵常数的判定方法；如果函数在区间内恒有=0，则为常数．注：①是f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如在上并不是都有，有一个点例外即x=0时f（x）=0，同样是f（x）递减的充分非必要条件．②一般地，如果f（x）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为

4、正（或负），那么f（x）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的．7.极值：（1），在，则称为的极大值。（2），在，则称为的极小值。（3）时，是为极值的既不充分也不必要条件。8.求可导函数的极值的步骤：①求；②求方程的全部实根；③检查在方程的根左右的值的符号，如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值。注：是极值点的充分条件是点两侧导数异号，而不是=0．此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点．当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小．9.函数的最大值与最小值：求在上的最大值和最小

5、值的步骤：①求在内的极值；②将的各极值与，比较，确定的最大值与最小值；【典型例题】例1、设为自然对数的底，a为常数且），取极小值时，求x的值解：令（1），由表x（－∞，2）2f′（x）+0－0+f（x）↗极大值↘极小值↗取极小值（2）无极值（3）时，由表x（－∞，－）2f′（x）+0－0+f（x）↗极大值↘极小值↗．例2、用长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积？解析：设容器底面短边长为xm，则另一边长为（x＋0.5）m，高为，由，设容器的容积为，则有整理得

6、：，所以，即，解得（不合题意舍去），从而，在定义域（0，1.6）内只有在x＝1处使，由题意，若x过小（接近0）或过大（接近1.6）时，y值很小（接近0），因此，当x＝1时，y取得最大值，这时，高为．答：容器高为1.2m时容积最大，最大容积为．点评：解决实际应用问题的关键在于建立数学模型和目标函数，把“问题情境”译为数学语言，找出问题的主要关系，抽象成数学问题．然后应用可导函数求极值的方法求出最大（小）值．例3、已知x，y为正实数，且满足关系式，求的最大值。分析：题中有两个变量x和y，首先应选择一个主要变量，将x，y表示为某一变量（x或y或其它变量）的函数

7、关系，实现问题的转化，同时根据题设条件确定变量的取值范围，再利用导数（或均值不等式等）求函数的最大值。解：解法一：由解得：设当时，令，得或（舍），又∴函数的最大值为即的最大值为解法二：由得：设设则令，得或，此时即当时，说明：进行一题多解训练，是一种打开思路，激发思维，巩固基础，沟通联系的重要途径，但要明确解决问题的策略、指向和思考方法，需要抓住问题的本质，领悟真谛，巧施转化，方可快捷地与熟悉的问题接轨，在实现转化的过程中，关键是要注意变量的取值范围必须满足题设条件，以免解题陷于困境，功亏一篑。例4、已知函数，若在上的最大值为20，求它在该区间上的最小值。

8、解：由得或∵在上∴在上单调递增∵在上∴在上单调递减因此和分别是在区间上的最大值和