资源描述：
《高中数学 空间向量与立体几何知识解析 新人教A版必修2》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、专题补充学习-----空间向量法解决立体几何问题一．知识回顾：1、空间向量的坐标运算：空间直角坐标系的x轴是横轴（对应为横坐标），y轴是纵轴（对应为纵轴），z轴是竖轴（对应为竖坐标）.①令，则,，∥(用到常用的向量模与向量之间的转化：)2、空间两点的距离公式：.专题提纲一、引入两个重要空间向量1、直线的方向向量；2、平面的法向量。二、立体几何问题的类型及解法1、判断直线、平面间的位置关系；(1)直线与直线的位置关系;(2)直线与平面的位置关系;(3)平面与平面的位置关系;2、求解空间中的角度；3、求解空间中的距离。一.引入两个重要
2、的空间向量ABZYXO1.直线的方向向量:把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量.如图1,在空间直角坐标系中,由A(x1,y1,z1)与B(x2,y2,z2)确定的直线AB的方向向量是nα2.平面的法向量:如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直于平面α,称这个向量垂直于平面α,记作n⊥α,这时向量n叫做平面α的法向量.3.在空间直角坐标系中,如何求平面法向量的坐标呢?如图2,设a=(x1,y1,z1)、=(x2,y2,z2)是平面α内的两个不共线的非零向量,由直线与平面垂直的判定定理知,若n⊥a且n⊥b,则n⊥
3、α.换句话说,若n·a=0且n·b=0,则n⊥α.nba4.求平面的法向量的坐标的步骤第一步(设):设出平面法向量的坐标为n=(x,y,z).第二步(列):根据n·a=0且n·b=0可列出方程组第三步(解):把z看作常数,用z表示x、y.第四步(取):取z为任意一个正数(当然取得越特殊越好),便得到平面法向量n的坐标.【例题赏析】例1：在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.AAABCDOA1B1C1D1zxybaba二.立体几何问题的类型及解法1.判定直线、平面间的位置关系(1)
4、直线与直线的位置关系不重合的两条直线a,b的方向向量分别为a,b.①若a∥b,即a=λb,则a∥b.②若a⊥b,即a·b=0,则a⊥b【例题赏析】例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=θ,求证:CC1⊥BDA1B1C1D1CBADnaαL(2)直线与平面的位置关系直线L的方向向量为a,平面α的法向量为n,且Lα.nLαa①若a∥n,即a=λn,则L⊥α②若a⊥n,即a·n=0,则L∥α.【例题赏析】例3:棱长都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,•D,E分别是AC,
5、CC1的中点,求证:•(I)A1E⊥平面DBC1;•(II)AB1∥平面DBC1A1C1B1ACBEDzxy(3)平面与平面的位置关系平面α的法向量为n1,平面β的法向量为n2αββαn1n1n2n2①若n1∥n2,即n1=λn2,则α∥β②若n1⊥n2,即n1·n2=0,则α⊥β【例题赏析】例4:正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点,求证:面AED⊥面A1FDzxyABCDFEA1B1C1D12.求空间中的角(1)两异面直线的夹角利用向量法求两异面直线所成的夹角,不用再把这两条异面直线平移,求出两条
6、异面直线的方向向量,则两方向向量的夹角与两直线的夹角相等或互补,我们仅取锐角或直角就行了.【例题赏析】例5:如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中点,则对角线DB1与CM所成角的余弦值为_____.BCAMxzyB1C1D1A1CDMA(2)直线与与平面所成的角若n是平面α的法向量,a是直线L的方向向量,则L与α所成的角θ=-或θ=-(下图).naaθθααn 于是,因此【例题赏析】例6:
7、正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,高为，求AC1与侧面ABB1A1所成的角zxyC1A1B1ACBO（3）二面角BAo设n1、n2分别是二面角两个半平面α、β的法向量，由几何知识可知，二面角α-L-β的大小与法向量n1、n2夹角相等（选取法向量竖坐标z同号时相等）或互补（选取法向量竖坐标z异号时互补），于是求二面角的大小可转化为求两个平面法向量的夹角，这样可避免了二面角的平面角的作图麻烦.BAo①、二面角是锐二面角BAo②、二面角是钝二面角BAo【例题赏析】例7:在四棱锥S-ABCD中∠DAB=∠ABC=90°，侧棱SA
8、⊥底面AC，SA=AB=BC=1，AD=2，求二面角A-SD-C的大小.ADSBxyCzAθHBnα(2)点到平面的距离A为平面α外一点(如图),n为平面α的法向量,过A作平面α的斜线AB及垂线AH.==.于是，点到平面的距离等于平面内外两点的向量
