动物的繁殖问题

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1、实验六　动物的繁殖问题【实验目的】1．加深对矩阵线性变换、方幂、特征根、对角化等概念的理解。2．掌握用矩阵变换在实际问题中的应用。3．学习使用MATLAB软件中与矩阵有关的命令。【实验内容】某农场饲养的某种动物所能达到的最大年龄为15岁，将其分为三个年龄组：第一组0～5岁；第二组6～10岁；第三组11～15岁。动物从第二个年龄组开始繁殖后代，第二个年龄组的动物在其年龄段平均繁殖4个后代，第三个年龄组的动物在其年龄段平均繁殖3个后代。第一年龄组和第二年龄组的动物能顺利进入下一个年龄组的存活率分别为0.5和0.25。假设农场现有三个年龄段的动物各

2、有1000头，计算5年后、10年后、15年后各年龄段动物数量。20年后农场三个年龄段的动物的情况会怎样？根据有关生物学研究结果，对于足够大的时间值，有≈（是莱斯利矩阵的惟一正特征值）。请检验这一结果是否正确，如果正确给出适当的的值。如果每五年平均向市场供应动物数＝，在20年后农场动物不至灭绝的前提下，应取多少为好？【实验准备】　　1．矩阵知识回顾　　当矩阵的列数与某一个列向量元素个数一致时，用矩阵乘以向量将得到另一个向量，这就是向量的线性变换。当矩阵是方阵时，线性变换可以持续进行。即用矩阵乘以一个向量得到一个新的向量，用同一矩阵再乘以新的向量

3、又获得另一个的向量……，这种运算的本质就是用矩阵的方幂乘以最初的向量。在线性代数应用中称为矩阵的方幂问题，它和矩阵的特征根问题有密切关系，对它的研究导致了矩阵对角化方法，这类方法在生物学研究等领域有着广泛应用。　　设＝是数域上的一个阶矩阵，行列式　　　　　　　　　　＝＝　　　　（1）叫作矩阵的特征多项式，若有　　　　　　　　　　＝0那么就是矩阵的特征多项式的特征根，那么方程　　　　　　　　　　＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（2）的一个非零解叫做矩阵的属于特征根的特征向量。定理1　令是数域上的一个阶矩阵，如果的特征多项式在内有个

4、根，那么存在一个阶可逆矩阵，使得173　　　　　　　　　　＝　　　　　　　　　　　　　　（3）　　5．求矩阵特征根的MATLAB命令　　d=eig(A)　求矩阵A的特征根；　　[V,D]=eig(A)　求矩阵A的特征根和特征向量，其中V表示特征向量，D表示特征根；　　有关该命令的详细信息可查阅帮助。【实验方法与步骤】　　1．引例问题的分析　　由题设，在初始时刻0～5岁、6～10岁、11～15岁的三个年龄段动物数量分别为：　　　　　　　　　　＝1000，　＝1000，　＝1000以五年为一个年龄段，则某一时刻三个年龄段的动物数量可以用一个向量　

5、　　　　　　　　　＝表示。以五年为一个时间段，记　　　　　　　　　　＝为第个时段动物数分布向量。当＝0，1，2，3时，分别表示现在、五年后、十年后、十五年后的动物数分布向量。根据第二年龄组和第三年龄组动物的繁殖能力，在第个时间段，第二年龄组动物在其年龄段平均繁殖4个，第三年龄组动物在其年龄段平均繁殖3个后代。由此得第一年龄组在第＋1个时间段的数量如下　　　　　　　　　　＝4＋3同理，根据第一年龄组和第二年龄组的存活率，可得等式　　　　　　　　　　＝0.5，　＝0.25建立数学模型如下　　　　　　　　　　＝4＋3　　　　　　　　　　＝0.5　　

6、　　　　（＝0，1，2，3）　　　　　　　　　　＝0.25改写成矩阵形式　　　　　　　　　　　　　（＝0，1，2，3）由此得向量和的递推关系式　　　　　　　　　　＝其中矩阵173　　　　　　　　　　＝称为莱斯利矩阵，进一步有　　　　　　　　　　＝　　2．MATLAB计算机求解　　为了计算五年后、十年后、十五年后农场中动物的数量，输入初始数据和莱斯利矩阵，在MATLAB命令窗口中键入下面命令：>>x0=[1000;1000;1000];>>L=[043;0.500;00.250];>>x1=L*x0x1=　7000　　500　　250　　>>x

7、2=L*x1x2=　2750　　3500　　125　　>>x3=L*x2x3=14375　　1375　　875>>x4=L*x3x4=1.0e+003*8.1250　　7.1875　　0.3438　　为了计算莱斯利矩阵的特征值，键入下面的命令：>>eig(L)ans=1.5000　　-1.3090　　-0.1910这说明矩阵L的惟一正特征值为＝1.5为了验证　　　　　　　　　　≈编辑M脚本文件animal.m，运行下面的程序：d=1.5;x=[1000;1000;1000];L=[043;1/200;01/40];y=L*x;y1=d*x;k

8、=1;whilemax(abs(y-y1))>0.00001x=y;y=L*x;173y1=d*x;k=k+1;endk　　可知，当k＝285时，有结论≈成立。【结