天津市佳春中学中考数学复习 图形运动过程中的临界问题

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1、图形运动过程中的临界问题一、题型特点1.图形位置不确定；2.图形运动具有连续性；3.多以求某一变量的取值范围或最值为主．二、涉及的主要知识点1.几何作图或画函数图象；2.几何计算；3.方程或不等式（组）；三、主要解题思路1.通过画图（或示意图）或直观操作把问题直观化；2.确定运动的起始位置、终止位置或某些特殊位置，化动为静；3.计算临界位置的相应结果，得到相应变量的取值范围或最值．四、例题讲解例1在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5．如图1所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A＇处，折痕为PQ，当点A＇在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在AB、A

2、D边上移动，则BA＇的取值范围是．图3图2图1分析：如图2，解题由画图开始．点A＇在BC边上移动，可首先使点A＇与点B重合，画出相应的图形，如图2所示；再使点A＇与点C重合，画出相应的图形，如图3所示，可知均不满足条件，进而可得出，点P、Q的位置决定BA＇的取值范围．当点P与点B重合时，如图4所示，BA＇值再大，当点Q与点D重合时，如图5所示，BA＇值再小，BA＇的取值范围可求．图5图4-11-解：如图4，当点P与点B重合时，BA＇=3．如图5，当点Q与点D重合时，DA＇=5，CA＇=5，BA＇=1．所以BA＇的取值范围是1≤BA＇≤3.例2已知二次函数y=x2+2x+c．（1）

3、当c＝－3时，求出该二次函数的图象与x轴的交点坐标；图4图3图2（2）若－2＜x＜1时，该二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，求c的取值范围．图1解：（1）略．（2）分析：从已知入手，画出图形．由函数的解析式y=x2+2x+c可以得出二次项系数是1，函数图象的形状确定，因为一次项系数是2，所以函数图象的对称轴确定是直线x=－1,故而可知该函数的图象因常数项的变化而沿直线x=－1上下平移．又因为条件－2＜x＜1可知，该二次函数的图象如图1所示．确定一种运动方式，不妨确定为从下向上运动．函数图象与x轴的交点情况为0、1、2、1、0五种情况．确定临界位置分别如图2、图3、图4所示．分

4、别把（1,0）、（－2,0）、（－1,0）代入函数的解析式可得出相应的c值，c的取值范围可求．解：（2）由（1,0）得，0=12+2×1+c，c=－3；由（－2,0）得，0=（－2）2+2×（－2）+c，c=0；由（－1,0）得，0=（－1）2+2×（－1）+c，c=1.所以c的取值范围是－3＜c≤0或c=1.-11-图3例3如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（4，3），动圆D经过A、O，分别与两轴的正半轴交于点E、F，求直径EF的范围.图1图2分析：要求直径EF的范围，就是求出EF的最大值与最小值．因为图形位置不确定，找到图形运动的临界位置，画出相应的图形，化动为静．由已

5、知条件“动圆D经过A、O，分别与两轴的正半轴交于点E、F”，可得出点E、F与点O重合是此题的两个临界位置（此时圆心D分别在x、y轴上）．画出对应的图形，如图2、图3所示．由已知条件动圆D经过A、O，可以确定圆心D在线段OA的垂直平分线上，以DO为半径依次画出规范的图形，如图4所示，观察EF的变化规律：当点F从图2中的位置向图3中的位置连续变化时，EF的大小变化是先由大变小，再由小变大，直观得出图3时最大，并猜想最小值在运动过程中的某处．进而猜想圆心D在线段OA上时，FE的值最小，如图5.此猜想的证明如图6，连接OD、DA、OA，由EF=OD+DA，当OD+DA最小时，EF的值最小

6、，又OD+DA≥OA，所以EF得最小值等于OA．图6图5图4-11-解：如图5，易知OA=5．如图3，求得EF=；如图4，求得EF=.所以5≤EF＜.五、练习题1．如图，∠ABC=90°，O为射线BC上一点，以点O为圆心，OB长为半径作⊙O，若射线BA绕点B按顺时针方向旋转至，若与⊙O有公共点，则旋转的角度（0°＜＜180°）的范围是．2．已知二次函数y＝2x2＋4x－6．把二次函数y＝2x2＋4x－6的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线(b＜k)与此图象有两个公共点时，b的取值范围．3．已知二次函数和一次函

7、数，设二次函数的图象与轴交于点（点在点的左侧），将二次函数的图象在点间的部分（含点和点）向左平移个单位后得到的图象记为，同时将直线向上平移个单位．请结合图象回答：当平移后的直线与图象有公共点时，的取值范围．-11-ABCDPE4.如图，已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，P是线段AD边上的任意一点（不含端点A、D），连结PC，过点P作PE⊥PC交AB于E当点P在AD上运动时，对应的点E也随之在AB上运动，求BE的取值范围．5.在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=