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1、慧眼识图——提炼相似三角形中的基本图形黄玲君平面几何在初中数学教学中一直占据着很重要的位置。学生在对几何知识进行学习和掌握的过程屮，最重要的一个部分是能够应用到实践屮进行解题。而对于大多数的公办初屮学生来说，学习儿何时不懂得如何变通，不知道如何寻找所需要的条件，感觉儿何问题解决时无从下手，进而失去信心。因此教给学生解题思路和解题技巧，是帮助学生捉供学习兴趣，认识几何魅力的有效方式。在相似三角形教学过程中时，发现学生对相似三角形中的大多数基木图形比较熟悉，比如A字型（图1）、反A字型（图2）、8字
2、型（图3）、反8字型（图4）、母子直角三角形（图5）。但对于除此之外的一些基木图形往往“熟视无睹”，为此，我结合教材内容，设计了一节复习课。一、自主预习：已知，如图，点F、C、D共线，BD丄FD,EF丄FD,BC丄EC，若DC二2,BD=3,FC二9,则EF的长为o说明：由于木题图形较为简洁，学生根据口己的观察和已有经验很快提炼出“一线三直角”（也称K字型）基本图形，其中的一对相似三角形（△BDCs/XCFE）,然后根据对应线段成比例求出结果。二、例题精析：如下左图，AB丄BC,DC丄CB，垂足
3、分别为B、C。当AB=4,DC=1,BC=4时，在线段BC上是否存在点P,使AP丄PD。如果存在，求出线段BP的长；如果不存在，请说明理由。XoBcB°~p=~c由于有了自主预习的讲评，学生对“一线三直角”这一基本图形有了较好的认知，因此，比较容易想到：如果存在点P满足条件，则冇上而的右图，从而解决问题。解题后，对于解题过程中所用到的知识和方法、思维流程的反思回顾是必要的。注意到解题过程中，曲ZC二ZB二ZAPD二90。，得出ZBAP二ZCPD,ZBPA二ZCDP,进而得出△ABPs^PCD是
4、解题的关键，不难提炼出基木图形。让学生基于自身的解题过程中积累的经验来总结提炼数学基本图形，符合“在学生已有的知识经验基础上开展数学教学活动”这一课程理念。学生初做此题时，经过思考一般都能独立完成，但可能所花费的时间较多。据了解，不少学生在选择解题突破口时，孤立地看待垂直条件，因此不能快速获得解题方法。基本图形的提炼和明确，使得学生在面对类似的问题吋，提高对“一线三直角”这一基木图形关注，从而快速获得解题思路。三、巩固应用：应用1——基本图形应用情景从直角梯形到正方形的变式已知，如图，在边长为&
5、的正方形ABCD中，M是边AD的中点，能否在边AB上找到点N（不与A、B重合），使得ACDM与AM心相似。若能，请指岀点N的位置；若不能，请说明理曲。由于本节课的前两题均与“一线三直角”这一基本图形有关，学生很容易想到过M点作MN丄CM,交AB于点N,则易证△CDM^AMAN，又由于点N不与A、B重合，因此另一种情形不符合条件。这是一个与相似三角形有关的存在性问题，在提炼出“一线三直角”这一基本图形之前，学生习惯从两边夹角方面去思考，这当然也是有效的，但相对所花时间较多，而有了该基木题型之后,学
6、生的解题过程较为自然流畅。同时，从直角梯形到正方形的变式，使学生进一步丰富了基本图形的应用情景，也能让学生体会到捉炼基本图形的价值，进而获得成功体验。应用2——基木图形应用情景拓展到等腰三角形中的应用如图，已知AABC中,AB=AC=10,BC=16,点P、D分别在边BC、AC±,BP=12,ZAPD=ZBO求CD的长。A学生限于自身水平，基本图形提炼过程中，往往很难一步到位，由于学生对基本图形应用情景从直角梯形到正方形的变式的认识冇些浅表化，述存在着明显的模仿痕迹。基于这样的考虑，我认为有必要
7、延伸和拓展对基木图形的现有认识，引导学生更深入地把握上学基木图形的本质特征，在熟练应用的基础上进行拓展。在前面的例题与练习小的基木图形是由一线和三直角组成，利用外角定理或三角形内角和易证两个三角形相似，不难拓展到一般图形（下图），不一定需要有三个直角，只需三个相等的角即可,这样用K字型来命名给基本图形更加贴切。应用3——基本图形应用情景拓展到等腰梯形中的应用如图，在平面直角坐标系中,四边形OABC是等腰梯形,BC//OA,0A=7,AB=4,ZC0A=60°,点P为兀轴上的一个动点，点P不与点0
8、、点A重合。联结CP,过点P作PD交AB于点D。（1）求点B的坐标；（2）当点P运动到什么位置时，AOCP为等腰三角形，求这时点P的坐标；（3）当点P运动到什么位置时，使得ZCPD^ZOAB,且这时点P的坐标。AB8由基木图形屮的同一直线上有三个角相等，不难联想到等腰三角形的两底角、等腰梯形同一底上的两底角、正多边形的相邻两内角等，由此可以设计蕴含上述基本图形的形式不同但时至相同的问题情境。类似的问题口J以冇普遍基础的练习:如图，在矩形ABCD'[•,E在AD上，EF丄BE,交CD于F,连结BF
