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1、二次曲线的性质及应用一一研究性学习报告山东省实验中学2008级23班刘谦益傅明睿陈霖指导教师：王学红摘要二次曲线与我们的生活密切相关，它们的性质在生产、生活中被广泛应用。木小组成员在此次研究性学习活动中对二次曲线的性质进行了一系列探讨，从二次曲线的定义入手，就二次曲线的方程、光学性质及应用等方而展开说明。AbstractConicsarecloselyrelatedtoourliving・Theircharactershavebeenwidelyappliedintheproducingandourliving
2、.Themembersofourteamcarriedoutaseriesofdiscussionswiththecharactersoftheconicsattheresearch-basedlearningactivities.Startingwiththedefinitionofconics,weilluminatedwiththeequation,theopticalpropertiesandtheapplicationareasoftheconics.二次曲线的性质及应用-一-研究性学习报告山东省实验
3、中学2008级23班刘谦益傅明睿陈霖指导教师：王学红一、绪论在我们的生活中，二次曲线无处不在。车轮滚滚，留下一路红尘；烈日炎炎，照亮亘古乾坤。这些都给我们留下圆的形象。构筑了五彩世界的圆，就是最简单的二次曲线——x2+y2=r2从椭圆方程说起当我们在纸上钉两个图钉，(它们的间距为2c),将一根长为1的绳子分别各系在一个图钉上，用笔绷紧绳了绕一圈，就画出了一个椭圈——因为椭圈上任意一点到两焦点的距离和相等,而且不难得出这个椭圆长轴a=
4、，短轴b=占厶，我们把它放在直角坐标系小，设Fi(c,O),F2(・c,O),
5、可知椭圆上任意一点p(x,y)满足PFi+PF2=l=2ao因此：^>?2+(x+c)2+A/y2+(x-c)2=2ac2=a2-b29x2b2+y2a2=a2b2223+%=1，当a=b时方程为圆方程。CT/?*■类似的，我们也有双曲线——就是到间距为2c的两交点距离之差为定值2a22的点构成的曲线方程为=l,如图ao这里b=^c2-a2是双曲线的虚轴长。我们不难发现，椭圆和双曲线的方程都能写成Ax2+C}?2=1的形式（A、C至少有一个为正）。以前我们所熟悉的抛物线y=kx2,也是一种二次曲线，它们都是开口
6、向上或开口向下的，这里我们把它踢倒，让它歪90°,就得到开口向左或向右的抛物线——y2=2px（如图就是一个开口向右的抛物线，但它不是一个函数图像）。二、二次曲线与二元二次方程2.1二次曲线与二元二次方程的关系二元一次方程表示一次曲线——直线，那么二元二次方程表示什么呢？有人会说，一定表示二次曲线喽！我们不妨试一试。我们把圆M：-^2+r经过平移，得到（兀-加）2+（y-砒―厂2把它展开后，与一般二元二次方程：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=O进行对照，会发现它的限制条件太多了：首先B必须为0,而且A和
7、C必须相等，且不为0,因为原方程展开后无xy项，口X?和以y?项系数都为1,无论乘以几都相等，满足这些还不行,D?+e2・4AF必须是正的，否则方程会无解或有唯一•解，也就是说方程不表示任何图形，或只表示一个点（当然“点岡'，模型在处理实际问题时也是有用的）……因此，一般二元二次方程绝不可能只表示圆。我们把刚才得到的二次曲线表达式进行平移改写，椭圆、双曲线变成/lx2+Cy2=l.抛物线=2px变成A（x-/?i）24-C（y-n）2=l、y=kx2变成y-n=k（x-m）2,把它们展开得到一•些方程，都是二元
8、二次方程，但不是xy项系数B等于0,就是/项系数A或『项系数C为0,因此一般二元二次方程也不是只表示上述二次曲线平移后所得的图形。二元二次方程还有一个重要的东西——准线。20?2,我们作直线11：X）厂.X-V.对于椭圆产+厉=和双曲线产一厉i%=—,12：X=~—,不难发现椭圆和双曲线上任意一点到焦点的距离与到所CC作的与焦点同侧的直线距离之比C都相等，且都等于十，这时h和12就是椭圆和双曲线的准线，e成为离心率。对于抛物线）d=2怒也易证抛物线上任意一点到焦点F（£,0）的距离和准线的距离相等,即e=l。这
9、样就有了准线和离心率的定义。这样所有的二次曲线都能表示成为到定点F和定直线距离之比等于e的所有点构成的曲线。对于椭圆，0l。焦点、准线和离心率都确定了，二次曲线就确定了（圆除外，规定圆e=0,无准线，焦点位于圆心）。再去看讨论过的二次曲线，不难发现它们的准线都与坐标轴垂直，这就限制了二次方程系数的取值。我们将二次曲线的准线，焦
