2020高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第19讲 导数的综合应用——导数与方程 含答案

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1、第19讲　导数的综合应用——导数与方程　　　　　　　　　　　1．能利用导数研究一般函数的单调性、极值与最值，获得对函数的整体认识．2．会利用导数研究一般函数的零点及其分布．知识梳理1．函数零点的有关知识(1)零点的概念：函数的零点是函数图象与x轴交点的　横坐标　.(2)几个常用结论：①f(x)有零点y＝f(x)的图象与x轴有　交点　方程f(x)＝0有　实数解　.②F(x)＝f(x)－g(x)有零点y＝f(x)与y＝g(x)的图象有　交点　方程f(x)＝g(x)有　实数解　.③零点存在定理：f(x

2、)在[a，b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a，b)内　至少有一　个零点．2．利用导数研究函数零点的方法(1)研究y＝f(x)的图象，利用数形结合的思想求解．(2)研究方程有解的条件，利用函数与方程的思想求解．热身练习1．(2017·浙江卷)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(D)　观察导函数f′(x)的图象可知，f′(x)的函数值从左到右依次为小于0，大于0，小于0，大于0，所以对应函数f(x)的增减性从左到右依次为减、增、减、增．观

3、察选项可知，排除A，C.如图所示，f′(x)有3个零点，从左到右依次设为x1，x2，x3，且x1，x3是极小值点，x2是极大值点，且x2>0，故选项D正确．2．函数f(x)＝x3－4x＋4的零点个数为(D)A．0　　　　　　　　　　B．1C．2D．3　因为f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)，令f′(x)＝0，得x＝±2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－2)－2(－2,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增单调递减－单调递增由此可得到f(x)的大

4、致图象(如下图)．由图可知f(x)有3个零点．3．若方程x3－4x＋4＋a＝0有3个不同的解，则a的取值范围为(B)A．(－，)B．(－，)C．[－，]D．[－，]　x3－4x＋4＋a＝0有3个不同的解⇔f(x)＝x3－4x＋4与g(x)＝－a有3个不同的交点．利用第2题图可知，－<－a<，即－

5、f(x)＝x3－4x＋4与φ(x)＝－a有2个不同的交点．利用第2题图可知，－a＝－或－a＝，所以a＝－或a＝.5．已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则实数a的取值范围是(C)A．(－∞，ln2)B．(ln2，＋∞)C．(－∞，2ln2－2]D．[2ln2－2，＋∞)　(方法一)因为f′(x)＝ex－2，令ex－2＝0得，ex＝2，所以x＝ln2，当x∈(－∞，ln2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(ln2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以当x＝ln2时，f(x)取最

6、小值f(x)min＝2－2ln2＋a.要f(x)有零点，所以a≤2ln2－2.(方法二)函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，即关于x的方程ex－2x＋a＝0有实根，即方程a＝2x－ex有实根．令g(x)＝2x－ex(x∈R)，则g′(x)＝2－ex.当x0；当x>ln2时，g′(x)<0.所以当x＝ln2时，g(x)max＝g(ln2)＝2ln2－2，所以函数g(x)的值域为(－∞，2ln2－2]．所以a的取值范围为(－∞，2ln2－2]．　　　　　　　　　　　利用导数研究三次函

7、数的零点及其分布已知函数f(x)＝x3－12x＋a，其中a≥16，则f(x)的零点的个数是A．0或1B．1或2C．2D．3(方法一：从函数角度出发，研究f(x)的图象与x轴的交点)因为f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝3x2－12＝0，得x＝±2，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－2)－2(－2,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增a＋16单调递减a－16单调递增由此可得到f(x)的大致图象(如图)，由a≥16得，a＋16>0，a－16≥0，当a

8、＝16时，f(x)的图象与x轴有2个交点；当a>16时，f(x)的图象与x轴只有1个交点．所以f(x)的零点个数为1或2.(方法二：从方程角度出发，利用函数与方程的思想)f(x)＝x3－12x＋a的零点个数⇔方程x3－12x＝－a的解的个数⇔g(x)＝x3－12x与h(x)＝－a的交点个数．画出g(x)＝x3－12x与h(x)＝－a的图象．由g′(x)＝3x2－12＝0，得x＝±2，当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：x(－∞