北航-自动控制原理复习指导

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1、第一讲拉普拉斯变换及其应用1.1基本要求1,熟悉拉氏变换的基本法则2,熟练掌握典型函数的拉氏变换式。3,掌握用拉氏变换求解微分方程初值问题的思路。4,熟练掌握求有理分式函数拉氏反变换的方法1.2.重点讲解1,对于学习本课程而言，广义积分式(拉氏变换的定义)的收敛性以及复变量主值积分式(反变换定义式)的计算，与正确地熟练地运用拉氏变换的基本法则相比不是主要的，因为在工程计算中可以用查表的方式来完成拉氏变换和拉氏反变换的计算。而拉氏变换的基本法则的运用则直接关系到是否真正掌握这种变换的工具。2,拉氏变换的线性性质源自定积分的线性性质，这说明

2、作为一种变换关系，拉氏变换是线性变换。应当指出线性关系并非所有变换都具有的性质，例如以十为底的对数可以看成正半数轴到数轴的变换关系，但关系式lablalbg(+)≠+gg说明取对数的运算显然不满足线性关系。3,为了保证拉氏变换的一一对应关系，总假定拉氏变换的定义式中的原函数f()t在t<0时为零。即原函数应写成f()1()tt⋅,根据单位阶跃函数1(t)的定义，这里f()1()t⋅t为ftt()>0ft()1()⋅=t00t<下面给出f()t、f()1()tt⋅、ft()1(⋅−tt)、ftt()−⋅−1(tt)、ftt(−)的函

3、数关系，以0000说明通常所说“将f()t延迟t”的正确表示。显然应当是图1-1中的(d)，不是(c)或(e)0ft()1()⋅tf()1(ttt⋅−)f()tt−⋅−1()ttft()000t0t0(a)(b)(c)(d)ftt()−0图1-1将f()t延迟t0(e)1基于上述认识，就能正确表达图形和用延迟定理求出某些图形的拉氏变换式。例题1-2ft()t0t0图1-2波形图求图1-2中的波形的拉氏变换。解图1-2中的波形可以看成tt⋅1()、()tt−⋅−1(tt)、tt⋅1(−t)这三个信号的代数和，0000读者可画出这三个信号的

4、波形图以验证下式的正确性。fttt()=⋅−−⋅−−⋅−1()(tt)1(tt)t1(tt)0000运用拉氏变换的线性性质和延迟定理，可得11−−tsttsL[ft()][=⋅−−⋅−−⋅−=−Ltt1()()tt1()1ttt()tt]e00−0e000022sss4,拉氏变换式的积分下限问题+−拉氏变换的定义的积分下限为零，在工程实践中，应该有0(零的右极限)和0(零的左+−极限)之分。对于在t=0处连续或只有第一类间断点的函数，0型和0型的拉氏变换结果是相同的。但是对于在t=0处有无界跳跃的函数，两种拉氏变换的结果不一致。可这用单

5、位脉冲函数δ()t说明之。+∞+∞−st−st∫δ()tedt=0∫δ()tedt=1+−00−+为了反映在t=0处有单位脉冲函数δ()t的作用，应当积分下限取0更为合理，因为取0未−−能包含t=0时刻，而0型的拉氏变换包含了t=0时刻。今后不加声明均认为是取0型的拉氏变换。−采用0型的拉氏变换另一方便之处，是考虑到在工程实际问题中，常常把开始研究系−统的时刻规定为零时刻，而外作用也是在零时刻加于系统。0时刻表示外作用尚未加于系−+统，这时系统所处的状态是易于知道的，因此0时刻的初始条件也比较容易确定。若采用0++型的拉氏变换，则相当于

6、外作用已加于系统，要确定0时系统的状态是很繁琐的，因而0时的初始条件也不易确定。25,有理分式函数的拉氏反变换在进行有理分式的部分分解时可能会有一对共軛复数根所对应的部分分式，其形式如下cc+ss++ααjθ其中c,α表示c,α的共軛，若cc=e，α=x+=jys−α=−xmjy，则有1,2−−11ccc−1cLL[]+=[]+L[]=ss++ααs+αs+α()θθ−−ytj()−ytj−−xtytjjθθ−xtytj−j−xtee+−xtce⋅⋅+⋅=eeceee22ce=cecos(yt−θ)2−−1ccxtLc[]+=2ecos

7、(yt−θ)t>0(1-1)ss++αα例题1-3225ss−+1Fs()=2ss(1+)将进行部分分式分解，可得2251ss−+ccc123Fs()==++2ss(1++)ssjsj−其中c=11o−j78.7cj=−=0.52.52.55e2oj78.7cj=+=0.52.52.55e3o由式(1-1)直接可得(xyc===0,1,2.55,θ=−78.7)−1oLFs[()]15.10cos(=+t+78.7)t>0另一方法也可得相同结果222251sssss−+−++5151s−s51Fs()===+=−+22222ss(1++

8、)ss(1)s+1ss+11s+s−1s51oLt[−+]cos=−+5sint115.10cos(=+t+78.7)t>022sss++116,用拉氏变换求解微分方程初值问题3为了说明用拉氏变换求解微分方