《圆锥曲线》学案1(苏教版选修1-1)

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1、曲线上一点处的切线I课型I新授1.理解曲线在一点处的切线的概念.学习目标学习重点一、自主学习2.理解并掌握曲线在一点处切线的斜率的概念、求法及切线方程的求法.3.掌握“局部以直代曲”和“用割线的逼近切线”的思想方法.理解曲线在一点处的切线的定义,以及曲线在一点处切线的斜率的定义,掌握曲线在一点处切线斜率及切线方程的求法.学习反思:(一)点P附近的曲线1.平均变化率:函数/(兀)在区间[勺七]上的平均变化率为即曲线上两点的连线(割线)的斜率显然平均变化率近似地刻画了曲线在某个区间上的变化趋势。2.如何精确地刻画曲线上某一点处的变

2、化趋势呢?(点P附近的曲线的研究)(从直线上某点的变化趋势的研究谈起,结合“天圆地方”的故事带来“宏观上曲,微观上直”,“曲绝对,直相对”的初步感受,后提出“放大图形”的朴素方法•)(1)观察“点P附近的曲线”,随着图形放大,你看到了怎样的现彖?(2)这种现彖下,这么一条特殊位置的直线从其趋势看儿乎成了这种思维方式就叫做“逼近思想”。从上面的学习过程来看:1)・曲线在点P附近看上去几乎成了直线2).继续放大,曲线在点P附近将逼近一条确定的直线这条直线是过点P的所有直线中最逼近曲线的一条直线3).点P附近可以用这条直线/代替曲线

3、这样,我们就可以用直线/的斜率来刻画曲线经过P点时的变化趋势练习:见课本(文P62,理P10)第3题:;-3•怎样找到经过曲线上一点P处最逼近曲线的直线/呢?如图(1)试判断哪条直线在点P附近更加逼近曲线?(2)在点P附近能作111比加,斤更加逼近曲线的直线/么?(3)在点P附近能作岀比m,/?,/更加逼近曲线的直线么?学习反思:说明:随着点Q沿曲线向点P运动,直线PQ在点P附近越来越逼近曲线.(二)曲线上点P处的切线及其斜率1・割线逼近切线>>Q为曲线上不同于点P的一点,这时,直线P0称为曲线的割线;••随着点0沿曲线向点P

4、运动,割线P0在点P附近越來越逼近曲线,当点0••••无限逼近点P时,直线P0最终成为点P处最逼近曲线的直线/,这条直线/•••也称为曲线在点P处的切线.••2.割线斜率逼近切线斜率切线的概念提供了求切线斜率的方法.问题:对比平均变化率这一近似刻画曲线在某个区间上的变化趋势的数学模型,在这里平均变化率表示为什么?乂用怎样数学模型来刻画曲线上P点处的变化趋势呢?为了更好地反映点Q沿曲线向点P运动,我们选择了一个变量心.不妨设P(x,/(%)),Q点的横坐标为兀+心,则Q点的横坐标为,则割线P0的斜率为伤Q==,学习反思:注意书写

5、的规范性当点0沿着曲线向点P无限靠近时,割线PQ的斜率就会无限逼近点P处切线斜率,即当心无限趋近于0时,/(兀+心)_念)无限趋近点p(x,/(x))Ax处切线斜率(即为心取0时匕卫的值).练习:见课本(文P62,理P10)第1、2题(在课本上作出答案)。二、问题探究与合作交流例题:已知/(兀)=无2,求曲线y=/(兀)在兀=2处的切线斜率和切线方程.变1:己知/(x)=x2,求曲线y=/(x)在x=-l处的切线斜率和切线方程.变2:己知/(%)=%-*,求曲线),=/⑴在兀=-1处的切线斜率和切线方程.变3:已知/(x)=V

6、l-x2,求曲线y=/U)在兀二*处的切线斜率是多少?三.回顾小结四、巩固练习见课本(文P63,理P11)第4题;(文P67,理P16)第1、3题

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