《数字信号处理》项目：小波分析在图像处理上的应用

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1、小波分析在图像处理中的应用1引言小波分析(WaveletAnalysis)即小波变换是80年代屮期发展起來的一门新兴的数学理论和方法，它被认为是傅立叶分析方法的突破性进展，它具有许多优良的特性。小波变换的基本思想类似于Fourier变换，就是用信号在一族基函数张成的空间上的投影表征该信号。经典的Fourier变换把信号按三角正、余弦基展开，将任意函数表示为具有不同频率的谐波函数的线性迭加，能较好地刻划信号的频率特性，但它在吋空域上无任何分辨，不能作局部分析，这在理论和应用上都带来了许多不便。小波分析优于傅立叶Z处在于，小波分析在时

2、域和频域同时具有良好的局部化性质，因为小波函数是紧支集，而三角止、余弦的区间是无穷区间，所以小波变换可以对高频成分采用逐渐精细的时域或空间域取代步长，从而可以聚焦到对象的任意细节。因此，小波变换被誉为分析信号的显微镜，傅立叶分析发展史上的一个新的里程碑。小波分析的应用是与小波分析的理论研究紧密地结合在一起的。现在，它已经在科技信息领域取得了令人嘱目的成就。现在，对性质随时间稳定不变的信号，处理的理想工具仍然是傅立叶分析。但在实际应用中，绝大多数信号是非稳定的，小波分析正是适用于非稳定信号的处理工具。图像处理是针对性很强的技术，根据

3、不同应用、不同要求需要采用不同的处理方法。采用的方法是综合各学科较先进的成果而成的，如数学、物理学、心理学、信号分析学、计算机学、和系统工程等。计算机图像处理主要采用两大类方法：一类是空域屮的处理，即在图像空间中对图像进行各种处理；另一类是把空间与图像经过变换，如傅立叶变换,变到频率域，在频率域中进行各种处理，然后在变回到图像的空间域，形成处理后的图像。图像处理是“信息处理”的一个方面，这一观点现在已经为人所熟知。它可以进一步细分为多个研究方向：图片处理、图像处理、模式识别、景物分析、图像理解、光学处理等等。小波分析用在图像处理方

4、面，主要是用來进行图像压缩、图像去噪、图像增强(包括图像钝化和图像锐化)、图像融合、图像分解。2常用小波介绍2.1Haar小波A.Haar于1990年提出一种止交函数系，定义如下：10

5、I说r小波)，db"不具对称性(即非线性相位)；db"没有显式表达式(除N=1外)。但仇｝N-1的传递函数的模的平方有显式表达式。假设其中，cr*为二项式的系数，则有E

6、“g)『=(cos吆)Np(sin2色)(2.3)12/v-i22其中叫(劲=£恥沁7Z“()2.3Biorthogonal(biorNr.Nd)小波系Biorthogonal函数系的主要特征体现在具有线性相位性，它主要应用在信号与图像的重构中。通常的用法是采用一个函数进行分解，用另外一个小波函数进行重构。Biorthogonal函数系通常表示为biorNr.Nd

7、的形式：Nr二1Nd二1,3,5Nr=2Nd二2,4,6,8Nr=3Nd二1,3,5,7,9Nr=4Nd二4Nr=5Nd二5Nr=6Nd二8其中，r表示重构，di表示分解。2.4Coiflet(coifN)小波系coiflct函数也是由Daubechies构造的一个小波函数，它具有coifN(N=l,2,3,4,5)这一系列，coiflet具有比dbN更好的对称性。从支撑长度的角度看，coifN具有和db3N及sym3N相同的支撑长度；从消失矩的数冃来看，coifN具有和db2N及sym2N相同的消失矩数目。2.5SymletsA

8、(symN)小波系Symlets函数系是由Daubechies提出的近似对称的小波函数，它是对db函数的一种改进。Symlets函数系通常表示为symN(N=2,3,…，8)的形式。2.6MexicanHat(mexh)小波(2.4)所以有时称这个函数为墨西哥MexicanIlat函数为屮(^)=-x2)e~x12它是Gauss函数的二阶导数，因菊右像墨西哥帽的截面,帽函数。墨西哥帽函数在时间域与频率域都有很好的局部化，并口满足Ii//(x)dx=0(2.5)J—OO由于它的尺度函数不存在，所以不具有止交性。2.7Meyer函数M

9、eyer小波函数屮和尺度函数。都是在频率域中进行定义的，是具有紧支撑的止交小波。(2^)-I/2^/2sin(-y(—1^

10、-1))22兀至⑺)={(2龙)"2严/2cos(兰讥丄屈一1))22龙02龙/」/4龙——