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《《数学物理方法》电磁场数学方法总复习-副本》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、电磁场数学方法第一早场论1方向导数Mo存在,刊一a/fgdz当当>0时，函数u沿/方向增加。vO时，函数"沿/方向减少。定义：方向导数是在一个点M处沿方向/的函数以M)对距离的变化率。定理1.函数u=u(x,y,z)在点M()(兀(),)b，Z0)处可微；cos6r,cos/?,cosy为/方向的方向余弦，则函数"在点Mo处沿/方向的方向导数必且由如下公式给出：dududuqdu—=—cos6if+—cosp+—cosr3/dxdydz其中単，単啟是在点Mo处的偏导数。oxdydz2梯度方向导数解决了函数讥M)在给定点处沿某个方向的变化率问题。梯度则解决了函数讥M)在给定点处沿
2、哪个方向的变化率最大的问题。考察方向导数公式：dududuDdu---r.—=—cos(XHcospHcosy=G•I=
3、G
4、cos(G,I)3/dxdydza禹尸d"t,du弋durV-r,-：Qr式中G=—z+一j+一k,I=icosq+jcosp+kcosyodxdydz梯度的定义：若在数量场比(M)中的一点M处，存在这样一个矢量6,其方向为函数以M)在M点处变化率最大的方向，其模也正好是这个最大变化率的数值，则称矢量G为函数“(M)在点M处的梯度，记作gradw,即：”Bdu*du-：durgrad(u)=G=—i+—J+—^oxdydz3矢量场的通量及散度通量通量的定
5、义：设有矢量场A(M)f沿有向曲面S某一侧的曲面积分==•亦称为该矢量穿过曲面S的通量。散度cc—IffAds散度的定义：divA=lim—=lim丄。△Q-aM/WM2->M2v物理意义：散度表示场中一点处通量对体积的变化率。计算公式：在直角坐标系中，矢量场A=P(x,y,z)F+QO,y,z)了+R(x,y,z)k在任一点M(x,y,z)处的散度为divA=—4-—+—dxdydz4矢量场的环量及旋度环量环量的定义：设有矢量场A(M),则沿场中某一封闭的有向曲线/的曲线积分r=JjA-j/叫做此矢量场按积分所取方向沿曲线/的环量。I旋度旋度的定义：若在矢量场2中的一点M处
6、存在这样的一个矢量A,矢量场2在点M处沿其方向的环量面密度为最大，这个最大的数值，正好就是
7、R
8、,则称矢量斤为矢量场2在点M处的旋度，记作rotA,即rotA=R0物理意义：旋度矢量在数值和方向上表示了最大的环量面密度。其在任一方向的投影就等于该方向上的环量面密度。计算公式：在直角坐标系中旋度表示为：iJkrotA=R=(Rv-Q.)i+(E-RJj+(Qx-Pv)k奴心A=R=〒——'-axdydzPQR5几种重要的矢量场有势场定义：设有矢量场戶(M),若存在单值函数班M)满足A=^rad(u)，则称此矢量场为直势场;令v=-u,并称u为这个场的势函数。矢量A=-^rad(v
9、)o有势场，无旋场，保守场是等价的。管形场定义：设有矢量场A(M)f若其散度divA=Of则称此矢量场为管形场，也称无源场。为何将其称为管形场？调和场定义：如果在矢量场刁中恒有divA=0与rotA=Of则称此矢量场为调和场，即既无源又无旋的矢量场。第二章、数学建模一数学物理定解问题数学物理方程的导出数学物理方程是把物理规律用数学语言表达出来，与定解条件无关。而物理规律反映的是某个物理量在邻近地点和邻近吋刻之间的联系，因此数学物理方程的导出步骤为：(1)首先确定所研究的物理量H；(2)从所研究系统中选定微元，根据物理规律分析微元和相邻部分的相互作用(抓住主要影响，忽略次要影响)
10、，这种相互作用在一个短时间段里如何影响物理量M；(3)用算式表达这种相互影响，经简化整理就是数学物理方程。波动方程叫一乂勺口=°叫-几XT输运方程ut-a2^2u=0ut-a2V2w=/(x,y,z；r)恒定场方程V2w=-^——的泊松方程£V2m=0拉普拉斯方程2、定解条件定解条件包括初始条件、边界条件，还有衔接条件。有时衔接条件也称为边界条件，只是与下而我们介绍的三类边界条件有些差别而已。初始条件所谓的初始条件某个物理量在“初始”时刻的状态，而这个“初始”吋刻也是相对的。从数学角度看，对泛定方程中出现一阶导数妁，方程为一阶微分方程，只需要初始条件，比如输运方程；而对泛定方程
11、中出现二阶导数知，方程为二阶微分方程，需要两个初始条件。边界条件第一类边界条件：直接规定了所研究的物理量在边界上的数值;吩，y，z；叽）=爪兀。*o，%；f）第二类边界条件：规定了所研究的物理量在边界外法线方向上方向导数的数值;dn=A(^oOo^o^)(XOZ)=(Ao>.V0,Z0)第三类边界条件：规定了所研究的物理量及其外法向导数的线性组合在边界上的数值。（“+H知）
12、（.*f）=厶（勺，儿，z°;/）式中/]（兀o，）b，Zo；/）、f2（xQ,yQ9zQ-9t）和厶（>0，），0
