《曲边梯形的面积》教学教案1

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1、曲边梯形的面积学习目标：1、了解定积分的某些实际背景，了解定积分的概念，明确定积分的几何意义2、以分割、以直代曲，作和、逼近的具体操作过程來探求曲边梯形的面积。学习重点：求曲边梯形的面积学习难点：分割、以直代曲，作和、逼近的思想学习过程一、引入新课1曲边梯形的面积我们已经学会了正方形，三角形，梯形等面积的计算，这些图形有一个共同的特征：每条边都是直线段。但我们生活与工程实际中经常接触的大都是曲边图形，他们的面积怎么计算呢？我们通常用一些小矩形面积的和來近似它。上面用九个小矩形近似的情况显然比用四个小矩形近似的情况精度高，但这样得到的仍然是曲边图形面积的近似值。如何求取曲边图形的准确面积呢？比如

2、举世瞩目的长江三峡溢流坝，其断面形状是根据流体力学原理设计的，如图1所示，上端一段是是抛物线，屮间部分是直线，下而部分是圆弧。建造这样的大坝门然耍根据它的体积备料，计算它的体积就需斐尽可能准确的计算出它的断面面积。该断面最上面抛物线所围的那一块面积该怎样计算呢？在介绍微分定义时我们已经知道，直与曲虽然是一对孑盾，但它们可以相互转化，早在三国时代,我代数学家刘徽就提出了“割圆术"，以“直'‘代“曲''把圆的面积近似看成多边形面积来计算。现在我们我们来计算一下溢流坝上部断面面积。假设抛物线方程为y=1-,xw[0,1]将[0,1]等分成口等份，抛物线下面部分分割成n个小曲边梯形第i个小曲边的矩形代

3、替,nj它的面积AS.二（1一丄〒）丄sn丄i=ln2n2n2-3n+l2T_31n2n曲此口J知，分割越细，越接近面积准确值0.6666…。再看一个变力做功的问题。设质点m受力F（x）的作用，沿直线由A点运动到B点，求变力尸（兀）作的功F(x)F虽然是变力，但在很短一段间隔内心，F的变化不大，可近似看作是常力作功问题。按照求曲边梯形面积的思想，当每个小区间的长度都很小时，小区间的力在［m」-h,力F作的功2)求和力F在S,切上作的功严工尸(乙)心，1=1/=1分割越细，近似程度，分割无限细时，即分割细度

4、

5、T

6、

7、=maxlArJ^O,3)取极限对上面和式取极限，极限值，就是力在［a,b］上作

8、的功。从上面两个例子看出，不管是求曲边梯形的面积或是计算变力作的功，它们都归结为对问题的某些量进行“分割、近似求和、取极限J或者说都归结为形如工/'($)△»•的和式极限问题。我们把这些问题从貝•体的问题中抽象出來，作/=1为一个数学概念提出来就是今天要讲的定积分。曲此我们可以给定积分下一个定义：(简要定义见教材，这里给出严格定义，供参考)定义设/(尢)是定义在区间⑺，切上的一个函数，在闭区间［。,切上任取n-1个分点a

9、

10、T

11、

12、=max{Ar,.}表示，在分割T所属的各个小

13、区间内各取一点^.e［x._19x.］称为介点，作和式(*)/=1总结步骤：例题讲解：例1：火箭发射后ts的速度为V(t)(单位：m/s),假定0