《概率统计a教学资料》第六章大数定理和中心极限定理

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1、第六章大数定律和中心极限定理研究随机变量序列的各种极限（或收敛性）的理论•我们知道，概率论是研究随机现象统计规律的学科,然而随机现象统计规律性只有在相同条件下进行大量重复的试验或观察才能显现出来，这就要用到极限去刻划•随机现象在大量重复试验中呈现明显的规律性，这只是一个信念，其确切含义和理论根据是什么？现在就来解决这些问题.极限定理是概率论中最重要的理论.它在概率论与数理统计的理论研究与应用中起着十分重要的作用.第一节契比雪夫不等式这里介绍一个重要的不等式一契比雪夫不等式，它是大数定律和中心极限定理的理论基础.定理设随机变量X存在数学期望ex和方差DX,则对任意正数&成立r)

2、vP{X-EX>e}<^^£此式称为契比雪夫不等式.或等价地nvP{X-EX<£}=1-P[X-EX>e}>1证明（1）当X为离散型随机变M,分布律为P{X=Xi}=Pi,z=l,2,..则有P[X-EX>e}=工P{X=xJXj-EX>E+x-EXyf(x)dx=^-E2_DX.■£(2)当X为连续型随机变量，概率密度为/W,则有P[X-EX>e}=If(x)dxJx-EX>e"'/£Jx-EX>e£2J、，<1E2例P{X-EX>a^DX}/DX1<=——-(a4DX)2a2(a>0)从上述证明方法

3、中，还可以看出（类似可证），成立P（X>£}<^^r£（£>0蜃1）；P{X-EX>£}

4、X_EX

5、J£k（£>0,H）；等形式的不等式.（车贝谢夫，车贝晓夫，切比雪夫）定理设随机变量X的数学期望EX和方差DX均存在，且DX=0,则有P{X=EX}=1.证明由车比谢夫不等式r）vP{X-EX>e}<^7旷]DX6sO-}<=01寸〃（丄）2?nn=12…又{

6、X—EX

7、HO}=工{

8、X—EX2—},"一1ft10

9、X-EX>-}）于是P{X-EX=O}=t即P{X=EX}=1.（P（A+4）=p（

10、A）+p（4）-p（A4）0,成立1”1”limF

11、{

12、—厂—工=1"tn㈢nz=,1〃1〃hmP{-YX—YEXi>£}=0n口n口1“证明令Z=—n□由数学期望的性质，有1”1'ey=e（—》x）二—工ex,,n曰n曰因互独立,由方差的性质，得到1”1nDY,=D(-XX,)一2DX「n/=in~口利用契比雪夫不等式，可得111>P{-XX—XEXi1-^c>1-1在上式中，令"Too,即得定义依次序列出的随机变量：X’XyX”,...简记为｛X”｝,简称随机(变量)序列｛XJ.定义对于随机（变量）序列{X,J和随机变量X（或常数Q）,若对任意£>0,有limP{

13、X„-

14、X

15、<^}=l（或limP{

16、X-aooH则称随机（变量）序列{X,,}依概率收敛于X（或常数Q）.（等价于limP{IX-X

17、>£}=o）"T8n简记为X”一—X,（〃Too）（或X”一Q,（〃Tx））推论（辛钦大数定律）若随机变量序列X.X，…,X“,…独立同分布,且存在有限的数学期望和方差EX=^DX=（y2,（心1,2,…）则对任意£〉0,有lmP{X-u<£]=,“T8'——1«其中—工X,•n曰证明由数学期望和方差的性质及条件，有——1”EX=E(—工XJn*=*1”1”=-£ex,=—£“=“，nin曰——1宀DX=D（—》X）ni1

18、”1”-LYDX=丄工nin对任意£>0,有>P{X-JLl<£}=P{X-EX1-DX于是成立limP{

19、X-x/

20、<£}=l即｛元｝依概率收敛于常数这个结论将在第八章中用到,是用样本均值作为总体均值“的点估计的理论依据.定理二(贝努里大数定律)设Z是〃次独立重复试验中事件A发生的次数，卩是事件A在每次试验中发生的概率，则对任意£〉0,成立YIimP[^-p<£}=…n证明引人随机变量1,第Z•次试验中A发生0,第2•次试验中A不发生则〃次试验中事件A发生的次数〃=X+X+•