概率复习5 大数定律和中心极限定理

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1、第五讲大数定律和中心极限定理基础理论知识知识框图：1.切比雪夫不等式设随机变量X有数学期望E(X)=m,方差D(X)=s2,则对任意e>0,或2.大数定律定理1(契比雪夫定理的特殊情况)设随机变量X1,X2,…,Xn,…相互独立,且具有相同的数学期望和方差:E(Xk)=m,D(Xk)=s2(k=1,2,…).前n个随机变量的算术平均为则对于任意e>0,有定理2(伯努利大数定理)设nA是n次独立重复试验中事件A发生的次数.p是事件A在每次试验中发生的概率,则对任意e>0,有或定理3(辛钦定理)设随机变量X1,X

2、2,…,Xn,…相互独立,服从同一分布且具有数学期望E(Xk)=m,(k=1,2,…).则对任意e>0,有显然,伯努利大数定理是辛钦定理的特殊情形.3.中心极限定理定理4(独立同分布的中心极限定理)设随机变量X1,X2,…,Xn,…相互独立,服从同一分布,且具有数学期望和方差:E(Xk)=m,D(Xk)=s2>0(k=1,2,…).则的分布函数Fn(x)对于任意x满足说明:定理说明N(0,1).或N(m,s2/n).定理5(李雅普诺夫(Liapunov)定理)设随机变量X1,X2,…,Xn,…相互独立,且E(

3、Xk)=mk,D(Xk)=sk2>0(k=1,2,…).设若存在d>0，使当n®¥时,则的分布函数Fn(x)对于任意x满足定理6(德莫佛-拉普拉斯(DeMoivre--Laplace)定理)设随机变量hn~b(n,p),n=1,2,…,0

4、等式,并且注意不等式中期望和方差的位置.例1设随机变量X的数学期望E(X)=m,方差D(X)=s2,则由切比雪夫不等式,有P{

5、X-m

6、³3s}£________.例2设随机变量X和Y的数学期望分别为-2和2,方差分别为1和4,而相关系数为-0.5,则P{

7、X+Y

8、³6}£______.2.大数定律的应用解题提示:注意大数定律的实际概率意义.例3设随机变量X1,X2,…,Xn,…独立同分布,且E(Xk)=0,则=__________.3.中心极限定理的应用解题提示:这类问题主要以两种形式出现:一是直接给出独立

9、同分布的随机变量序列;二是通过实际问题间接给出.一般解题步骤为:(1)正确选取独立同分布的随机变量X1,X2,…(2)将标准化为(3)利用并利用题目给出的标准正态分布值进行近似计算.例4设X1,X2,…为独立同分布序列,且Xi(i=1,2,…)服从参数为l的指数分布,则例5某人要测量A、B两地之间的距离,限于测量工具,将其分成1200段进行测量,设每段误差(km)相互独立,且均服从(-0.5,0.5)上的均匀分布.求总距离测量误差的绝对值不超过20km的概率.解:设Xi表示第i段上的测量误差,则Xi~U(-0

10、.5,0.5).i=1,2,…,1200.且E(Xi)=0,D(Xi)=1/12,i=1,2,…,1200.于是根据中心极限定理,N(0,1).故例6(1)一个复杂系统由100个相互独立的元件构成,在系统运行期间每个元件损坏的概率为0.10,又知为使系统正常运行,至少必须有85个元件工作,求系统的可靠性(正常运行的概率);(2)上述系统假如由n个相互独立的元件组成,而且有要求至少有80%的元件工作才能使整个系统正常运行,问n至少为多大时才能保证系统的可靠性为0.95?解:(1)设设X为系统正常运行时完好的元件

11、个数,于是由题设可知Xk(k=1,2,…,100)服从(0--1)分布,因此于是E(X)=0.9,D(X)=100´0.9´0.1=9,因此所求的概率为P(X>85)=1-P(X£85)(2)P{0.8n£X}=0.95,而³0.95.故Þn=25.例7一生产线生产的产品成箱包装,每箱的重量是随机的.假设每箱平均重50kg,标准差为5kg.若用最大载重为5吨的汽车承运,试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱,才能保证不超载的概率大于0.977(F(2)=0.977,其中F(x)是标准正态分布的分布函数)

12、.解:设Xi(i=1,2,…,n)是装运的第i箱的重量,n为所求箱数.由条件可以把X1,X2,…,Xn看作独立同分布的随机变量,设总重量Tn=X1+X2+…+Xn.由题设E(Xi)=50,D(Xi)=52,E(Tn)=50n,D(Tn)=25n,E(Tn)=50n,D(Tn)=25n,于是Þn<98.0199.故最多可装98箱.