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《概率论与数理统计教案lessonplan28：8.4一元线性回归分析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、§8.4一元线性回归分析教学目标：1、理解线性回归分析的思想；2、掌握线性回归分析的方法(最小二乘法)。教学重点：最小二乘法、显著性检验、相关性检验。教学难点：冋归方程的估计预测。教学准备：课件教学过程：以前我们所研究的函数关系是完全确定的，但在实际问题中，常常会遇到两个变量之间具有密切关系却又不能用一个确定的数学式子表达，这种非确定性的关系称为相关关系。通过大量的试验和观察，用统计的方法找到试验结果的统计规律，这种方法称为回归分析。一元回归分析是研究两个变量之间的相关关系的方法。如果两个变量之间的关系是线性的，
2、这就是一元线性回归问题。一元线性回归问题主要分以下三个方面：(1)通过对大量试验数据的分析、处理，得到两个变量之间的经验公式即一元线性回归方程。(2)对经验公式的可信程度进行检验，判断经验公式是否可信。(3)利用已建立的经验公式，进行预测和控制。1・散点图与回归直线在一元线性回归分析里，主要是考察随机变量y与普通变量X之间的关系。通过试验,可得到x、y的若干对实测数据,将这些数据在坐标系中描绘出来,所得到的图叫做散点图。例1在硝酸钠(hbhQ)的溶解度试验中,测得在不同温度x(°C)下，溶解于100份水中的硝酸钠
3、份数y的数据如下：Xi0410152129366168y.66・771.076・380.685.792.999.4113・6125.1给出散点图并试建x与y的经验公式。解将每对观察值(w)在直角坐标系中描出,得散点图如图1所示。从图1可看出,这些点虽不在一条直线上，但都在一条直线附近。于是，很自然会想到用一条直线来近似地表示X与y之间的关系，这条直线的方程就叫做y对x的一元线性回归方程。设这条直线的方程为9二a+bx其中a、b叫做回归系数（表示直线上y的值与实际值％不同丄图1散点阳130.00—120.00110
4、.00—100.00—90.00—80.00—70.0060.00—0.0010.0020.0030.0040.0050.0060.0070.00下面是怎样确定a和b,使直线总的看来最靠近这几个点。2・最小二乘法在一次试验中,取得n对数据（人，％）,其中％是随机变量y对应于为的观察值。我们所要求的直线应该是使所有丨％・$丨之和最小的一条直线,其中X=a+bxio由于绝对值在处理上比较麻烦,所以用平方和来代替，即要求a、b的值使0=£（x-刃尸最小。利用多元函数求极值的方法求回归系数/厶，得z=l•—7—a=y—
5、hx<£Lb-——其中1=丄£兀,n/=i歹=丄£”，Lxx=£a—元尸二_加2力r=l/=!Z=lLyy=》（X_J）2二》歹；一眄$，Lxy=》（无一元）（必一歹）二-ivcy/=!/=1/=1/=!从而得到一元线性回归方程y=a+hx。其中$,/；称为参数a、b的最小二乘估计,上述方法叫做最小二乘估计法。下面计算例1中y对x的一元线性回归方程。_这里n=9,（人，％）由例1给出，计算出x=26,j=90.1444,9匚尸工斤-9x2=10144-9x262=4060i=9L沪工+—9于=76218.17・
6、9x90.14442=3083.9822Z=19Lxy=Xx/Z-W=24628.6・9x26x90.1444=3534.8/=1八L、、35348--b=』==0.8706a=y-bx=90.1444-0.8706x26=67.5078码4046故所求回归方程为$=67.5078+0.8706x3.回归方程的显著性检验一般的情况下，给定〃对数组，总能建立一个方程，但是这个方程是否有效，还需作检验,也就是说回归的显著不显著需要检验。若回归方程中b=Q,则回归方程变成口,不再与x有关,因此检验的原假设与备择假设为：
7、H（）:b=0oH「・bM,为了寻求检验的统计量。我们把总体平方和分解,令％=0+厶“〃””-刃—£（刃-汀+£®一刃$Z=1/=1r=l令乞（X-X）2=S剩,称为剩余平方和。亍佩-刃2=s回称为回归平方和;=1/=1工（X-刃2，一yf）2再来分析它们的分布,〜*（—1）,若能求出旦的自由度，工®-刃2则一；—的自由度也就知道了。CTX（^-z）2的数学期望就可。;=1由于工（兀-汀为了求匕寸的自由度，只要求出屹(必-汀=屹(廿刃2_应2^/=!；=1=(n-1)(t2+b2Lxx-cr-b2Lxx=(n-2
8、)cr2£(X-刃2可知—~才5-2)CT因此，Z(x-y)2-—才⑴，CT又记为2#〜才G—L〜力2(1),°4〜Z2(h-2),crcrcr在H°成立的条件下，检验统计量F=—~F(l,—2)S^/n-2拒绝域为{F>^(1,71-2)}3.相关性检验在使用由试验数据求出回归方程的最小二乘法之前，并没有判定两个变量之间是否具有线性的相关关系。因此，即使在平面上一些并不
