1999-2000学年第二学期高等数学重修课考试试卷（A）答案

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1、北方交通大学1999-2000学年第二学期高等数学重修课考试试卷（A）答案及评分标准一.填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中.1.设lim-=8,则^=.心8（x_a）3.设函数/（兀）在区间（—oo,则尸（0）=.(B)./(x)=x；(D).(兀)HO.则jxf{x)dx=(I]、(B).x~—I—Inx+C；U2丿/11A(D).xInx+CU2丿2・曲线（5y+2）'=（2x+l）‘在点0,—上处的切线方程为5丿i牙5.若设/(兀)=一Jsin(/-x)d/,则必有(A)./(x)=sinx；(C).f(x)=-sin

2、x；答案：1.(D):2.(D)三.(本题满分6分〉2”_1I2Ik设/(X)二lim-—戶一—为连续函数,%+1解：由以给的公式可以求得1(B)./(X)=-1+COSX;(D)./(x)=l-sinx•3.(A)4.(B)5.(C)由于%>1试确定常数g与b./(兀)n所以又由于xax1+bxd+b+1~2a-b-2lim/(%)=1,XT广a+b=l；所以limf(x)=a+blimf(x)-a-b,XT-广四.(本题满分6分)_.2sinx+l设y=arcsin:——2+sin%(其屮小鈔解:dy=1dxf—‘2sin兀+1、2V<2+sinx；‘2sinx

3、+l、<2+sin^；(2sinx+1)•(2+sin兀)一(2sinx+1)•(2+sinx)(2+sinx)22+sinx五.(本题满分6分)设/z(cosx+2)=sin2x+tan2x,试求f{x).解：/(cosx+2)=J/'(cosx+2)d(cos兀+2)+C=j(sin2x+tan2x)t/(cosx)+C=[fl-cos2x+—JICOSXC(12)=1COSXJ

4、令加_=t,则exclx=2tdt,当兀=0时，f=0；当x=ln5时，t=2.因此}2t2dtdt習J『-1!『+3dx七.(本题满分7分〉设函数y=y(x)由方程兀"®=R所确定，其屮函数/具有二阶导数，且/‘H1,d?y试求fdx解：两端取对数，得lnx+f(y)=y上式两端对兀求导，得丄+/Xx2(i-/ty))2X2(1-/W因此巧二1-•厂(y)-曲“/_(1-广60)2-厂6)'dx2~五.(本题满分7分〉研究函数f(x)=解：x<001严(1-x)el~x在点x=0及x=l处，/(x)不可导.再令f

5、x)=0,得/(0的驻点x=-.X/(兀)h-xex~xxex~x_(兀+1)所以，fx)=<(兀+1)x<00(-1,0)0(0,1)1(1,+oor(x)/(x)极大值极小值极大值不存在+不存在6•7因此，/(x)有极大值/(-l)=e-2,/(1)=1；极小值/(0)=0.六.(本题满分7分)求由圆x2+(y-5)2=16绕兀轴旋转一周所成旋转体的体积.解：因为，^=5±V16-x2(-4

6、8分)证明：当兀>0时，(x2-l)lnx>(x-1)2.解：令(p{x)=(x~—1)lnx—(x—1)2,则0(1)=0‘2(px)-2xlnx-x+2-—x令(px)=0,得兀=1,即兀=1是函数0(x)在区间(0,+oo)上的唯一驻点.……4兀2所以0"(1)>1,故兀=1是函数^(x)=(x2-l)lnx-(x-l)2的极小值点，由于它是唯一的极值点，从而也是函数0(x)=(/_1)1(!兀一(兀一1)2的最小值点.……6即当兀>0时，0(兀)=(x2-l)lnx-(x-l)2»0(1)=0因此，当兀〉0时，(x2-l)lnx>(x-1)2・8设/W=<

7、XJ0/•(r-l)j(p(u)du0dt•9sirrx0十一・(本题满分8分〉兀H()X=0x=0点处的连续性与可导性•解：其中为连续函数，试讨论/(兀)在xrJ(t-l)j(p{u)dudt•im/(x)=1叫二—5xt°sinxxrJ(r-l)j(p(ii)dudt=lim-.ytOx2X{x-)^(p(u)du=lim.itOj(p(ii)du+(兀-1)0(F)•2x=lim=0=/(O)XTO2因此函数/(x)在兀=0点处连续.xrJ(r-l)j(p(ii)dudt0j(fj)jv(讪dt=lim-xtO"TO6xxtO6x=叫加严-如