高中数列求和的7种方法

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1、破解数列求和的6种常见方法数列问题中蕴涵着丰富的数学思想方法，是高考用来考查考生对数学思想方法理解程度的良好素材，是历年高考的一大热点，在高考命题屮，多以与不等式的证明或求解相结合的形式出现，一般数列的求和，主要是将英转化为等差数列或等比数列的求和问题，因此，我们冇必要对数列求和的各种方法进行系统探讨。一、公式求和法通过分析判断并证明一个数列是等差数列或等比数列后，可直接利用等差、等比数列的求和公式求和，或者利用前斤个iE整数和的计算公式等直接求和。因此有必要熟练掌握一些常见的数列的前n项和公式.正整数和公式有：(1)1+2+3+…+“血辺;(2)12+22+・・・+沪二血逆吐1)；(3)

2、13+，+…+/26L2例1已知数列的前斤项和为S“，且S”=n2+2”.若e=/(1),an+i-f(an)(71gN*),求数列仏｝的前斤项和7；・分析：根据数列的项和前n项和的关系入手求出/(n),再根据an+i=f｛an)(neN*)求出数列｛。”｝的通项公式后，确定数列的特点，根据公式解决.【解析】当n»2时，/(h)=Sfl-S”_]=2"+1.当〃=1时，/(1)=S[=3,适合上式，/.f(n)=2n+1(ngN*),a】=/(l)=3,an+l=2an+1(neN*),即afl+l+1=2(an+1),・•・数列仏+1｝是首项为4、公比为2的等比数列.an+1=6+1)-

3、2,2_,=2"，,・・・a”=2,,+1-1(/1GnJTn=(22+23+•••2rt+,)-n=2w+2-n-4.【能力提升】公式法主耍适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列的求和，一些综合性的数列求和的解答题最后往往就归结为一个等差数列或等比数列的求和问题.二、分组求和法有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为儿个等差、等比或常见的数列，然后分别求和,再将英合并即可.形如：r7｝[仏｝是等差数列；f(n=2k-i+必其中仏雇等比数列警仏“=N”例2己知数列仏｝的通项公式为％二2"+3〃一1,求数列仏｝的前72项和.分析：该数列的通项

4、是由一个等比数列｛2"｝与一个等差数列｛3^-1｝组成的，所以可将其转化为一个等比数列与一个等差数列进行分组求和.【解析】SH=a】+6/2+•••cin=(21+2)+(2~+5)+---(2/?+3〃—1)=&+22+...+2")+[2+5+…(3“—1)]=芈学+"[2+(Ji)lQ1=2n+,+-n2+-n-2.22【能力捉升】在求和时，一定要认真观察数列的通项公式，如果它能拆分成儿项的和，而这些项分别构成等差数列或等比数列，那么我们就叮以用此方法求和.三、错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项Z积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法來求和.例3已

5、知数列｛陽｝是首项为丄，公比为§=丄的等比数列，设乞+2=310引©(庇M),数列｛c“｝满足44icn=an-bH•求数列｛c“｝的前〃项和Sn・分析：根据等比数列的性质可以知道数列｛/?“｝为等差数列，这样数列｛c“｝就是一个等差数列与一个等比数列对应项的乘积构成的数列，因而可考虑用错位相减法來解决.【解析】由题意知，an-—(/IgN"),又仇=31ogjQ“一2,故，bn=3〃一214丿4（ngTV'）•cn=（3h-2）x—（hgTV1）,lxr4x+7x+…+（3n—5）x（Iy1"1a

6、，得1V1?M+1（4丿+・・・+（4丿—（3m—2）x<4,=--（3/?+2）x.2_3n±2x“33neN【能力提升】错位相减法适用于数列｛anbn｝,其中｛%｝是等旁数列，仇｝是等比数列.若等比数列｛仇｝中公比q未知，则需要对公比§分§=1禾Jq丰1两种情况进行分类讨论.四、倒序相加法如果一个数列｛。“｝,与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前斤项和即可用倒序相加法.例4已知函数尸(x)二3x-22x—1+・•严］（2009丿分析：由所求的和式的特点，易想到探究：和为1的两个自变最函数值的和是否为常数•从而确定可否用倒序相加法求和.【解析】因为F&)

7、+F(1_x)=+3、2=32x-l2(1-刃一112009+・・・F2008A<2009；2008、2009>①+②得:2S2009丿(2008、2009丿<2009丿[2007、<2009)20082009丿2009丿=3x2008=6024，所以S=3012.【能力提升】倒序相加法來源于课木，是等差数列前项和公司推导时所运用的方法，它是一种重要的求和方法。当求一个数列的冇限项和时，若是"与首末两端等距离”的两项和都