2017年全国1卷数学（理科）（含解析）

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1、2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）．A.B.C.D.【答案】A【解析】∵，，∴．2.如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）．A.B.C.D.【答案】B【解析】设正方形边长为，所以概率．3.设有下面四个命题若复数满足，则；若复数满足，则；若复数满足，则；若复数，则.其中的真命题为（）．A.B.C.D.16/16【答案】

2、B【解析】若，则，正确；若，而，错误；，而错误；若复数，则，正确故选B．4.记为等差数列的前项和.若，，则的公差为（）．A.B.C.D.【答案】C【解析】由题意可知，.5.函数在单调递减，且为奇函数.若，则满足的的取值范围是（）．A.B.C.D.【答案】D【解析】因为奇函数，，∴，∴，又因为函数在单调递减，∴，即.6.展开式中的系数为（）．A.B.C.D.16/16【答案】C【解析】=，∴的系数为.7.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和

3、为（）．A.B.C.D.【答案】B【解析】该几何体如图所示，∴梯形面积是：，故选B．8.右面程序框图是为了求出满足的最小偶数，那么在菱形和矩形两个空白框中，可以分别填入（）．16/16A.和B.和C.和D.和【答案】D【解析】∵要求时输出，且在框图中在“否”时输出，∴菱形框里不能填，排除，，又∵要求为偶数，∴矩形框里应填．9.已知曲线，，则下面结论正确的是（）．A.把上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线B.把上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移16/16个单位长度，得到曲线C.把上各点的横坐标

4、缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线D.把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线【答案】D【解析】∵，∴从变成只需把上各点的横坐标缩短到原来的倍，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线.10.已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于、两点，直线与交于、两点，则的最小值为（）．A.B.C.D.【答案】A【解析】显然直线斜率都存在，设直线方程为，则，联立，得∴，同理可得，∴，当且仅当时等号成立.16/1611.设，，为正数，且，则（）．A.B.C.D.【答案】A【解析】由，

5、∴，故，同理，∴，故．12.几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们退出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列，，，，，，，，，，，，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推.求满足如下条件的最小整数：且该数列的前项和为的整数幂.那么该款软件的激活码是（）．A.B.C.D.【答案】A【解析】设首项为第组，接下来两项为第组，再接下来三项为第3组，以此类推，第组的项数为，则组的项数和为，依题意得，第组的和为，∴组总共的和为，若要使得前项和为的整数幂，则项的和应与互为相

6、反数，即，，，16/16∴，，∴.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量，的夹角为，，，则______.【答案】【解析】.14.设，满足约束条件，则的最小值为______.【答案】【解析】不等式组表示的平面区域如图所示，，求的最小值，则截距需最大，故直线过点时，截距最大，有最小值.15.已知双曲线的右顶点为，以为圆心，为半径做圆，圆与双曲线的一条渐近线交于、两点.若，则的离心率为________.【答案】【解析】由题可知，渐近线方程为，∵，16/16∴圆心到渐近线距离，化简得：，则.14.如图，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的等边三角形的中

7、心为.、、为圆上的点，，，分别是以，，为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以，，为折痕折起，，，使得、、重合，得到三棱锥.当的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：）的最大值为_______.【答案】【解析】连接，交与点，由题，，∴，设，则，，三棱锥的高，，，，设，，∴，∴当时，故.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.16/16（一）必考题：60分.14.（12分）的内角，，的对边分别为，，，已知的面积为（1）求.（2）若，，求的周长.【