4、x
5、<-）o1+4厂/?=（）214、设a、b、c为单位向量，且满足g+/?+c=0,则a.b--h.c--c.a=-3/2。15、设/⑴是周期为2兀
6、的两数，且它在[-龙，龙）上的表达式为/（力=¥袞：：：°，则由收敛定理，/（x）的傅
7、则叶级数在x=k7T（kwZ）处收敛于3/2o16、已知直线厶：出=上二1=三±1,平面S:兀+y—z=0,则线面Z间的位置关系为123平行。二、已知ABC三边分别为b、c,面积为S,从其内部的动点F向三边作垂线，试问当三条垂线长分别为多少时，它们的乘积最大。（8分）解：设三垂线长度分别为兀,y,z,其乘积为P,则曲已知得目标函数：P=1分条件:ax-^-by+cz=25,2分3分作拉格朗日函数:L(x,y,z,
8、2)=xyz+2(ax+by+cz-2S)并令Lr=Ly=Lz=LA=0得yz+Aa=0xz+肋=0xy+/lc=0解得2Sx=——3a2S3b7分2S3c由已知，该问题确实存在最大值且在内部取得•所以，当三垂线长度分别为寻罟，字它们的乘积最大三、利用重积分计算半球面纭：兀2++分=2(Z>0)和锥面工2：Z所围成的立体的体积。(8分)解：设两曲面所围立体为Q,贝UV=JjJkrdydz2分纭:/+y2+八二2(沦°)；工2：Z=后+)“易得投影＜1……3分所以V=^dxdydz=Jd&“dz5分Q=
9、『d&]p(j2-p2-p)dp6分=^(V2-1)8分■1四、求幕级数若缶的和函数。(8分)8解:令s(x)=》n=l2h-1•易求得其收敛域为/={xXV1}2分(2)当兀工0时，冇也收敛4分x幺2n-1=呼£卓7①宀6分所以^)=『(空)么=「亠，丄(「仝+「仝)」ln土……7分x山x1-x22山1+兀山l-x2I-xY]+片5(x)=-ln——，而此时也冇5(0)=0・11-x所以原级数和函数为s(x)二彳lnfP(卜
10、vl)8分五、已知空间屮点戶(一1,2,0)及平面S:x+2y—z+l=0
11、。求(1)过点P且垂直于平面的直线方程；(2)点P在平而上的投影处标。(8分)解:(1)平而法向量为/7=(1,2-1),选作所求H线的方向向量所以直线方程为==—；4分12-1令乂乜=-―-=二=『得直线参数方程为兀=f-l,y=2/+2,z=-/，代入平面方12-12程得：(r-l)+2(2r+2)-(-r)+l=0=>r=--，再冋代入直线参数方程得x===；所以投影为(-!■，!■，£)8分233333六、己知林而方程为/+),=/,平面x+)，+z=q。求两]III而交线所围平面区域的而积。
12、解:设交线所围区域为Z，则由已知知Z方程为:z=g-兀-y2分因为交线也在柱而上，所以易知Z在“y而的投影为Dxy:/+)““23分而J=Zy="I5分所以其面积为A=JJJl+z；+z；dxdy=羽兀a18分七、用格林公式计算：((2兀—y+4)dx+(5y+3x—6)dy,其屮厶为三顶点分别为(0,0),JL(3,0),和(3,2)的三角形正向边界。(4分)解：记L所围的区域为D。令P=2x—y,Q=5y+3x-62分则由格林公式原式二□(器-^~)dxdy=4fjdxdy=4x-x3x2=l24
13、分%dxdy厶2八、计算曲面积分jj（x2+y2-bz2）dSf其中X'.Z=ylx2+y2（x2+y2Q（提示：将之转化为二垂积分进行计算）（8分）证:取区域D=[0,l]x[0,l]因为e/u)-/(
