第六章 常态分配

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1、第六章常態分配陳順宇教授成功大學統計系陳順宇作1某次IQ測驗有1萬人參加平均分數為100分，標準差為15分，且IQ測驗成績直方圖呈鐘形，陳順宇作2我們可以知道約有6800人的成績在85分到115分之間，約有9500人的成績在70分到130分之間，約有9970人的成績在55分到145分之間，也可由此推得IQ成績低於55分約有15人，而IQ超過145分的大約有15人陳順宇作3中國人常講〝萬一〞，表示〝一萬次中最多只有可能一次發生〞的事件為意外，統計學家則以〝20次實驗中最多只有1次發生〞，此種機率低於5%的事件為異常。陳順宇作4依統計的說

2、法，10000人中大約會有500位是異常的，其中優良者有250位，而不佳者有250位陳順宇作5例如，在IQ測驗中平均分數是100分，標準差為15分，IQ超過130分者為智優，低於70分者為智劣陳順宇作6IQ成績直方圖陳順宇作7IQ成績直方圖頂邊中點連線陳順宇作8IQ成績次數分配折線圖陳順宇作9IQ成績常態分佈圖陳順宇作10常態曲線(或高斯曲線)陳順宇作11常態曲線圖陳順宇作12平均數陳順宇作13變異數陳順宇作14鐘形分佈陳順宇作15例6.1、燈泡壽命直方圖呈鐘形陳順宇作166.2標準常態分配及查表陳順宇作17標準常態分配密度函數呈對

3、稱鐘形陳順宇作18陳順宇作19陳順宇作20例6.2求(1)(1.35)(-2.17)陳順宇作21陳順宇作22圖6.8標準常態分配函數圖陳順宇作23標準常態分配函數有下列性質(1)P(aZb)=(b)-(a)。(2)ab，則(a)(b)，即是增函數。(3)(-)=0，()=1。(4)利用對稱原理陳順宇作24陳順宇作25例6.4、若Z~N(0,1)，求下列各機率值陳順宇作26陳順宇作27陳順宇作28陳順宇作29例6.5陳順宇作30Theteacherspentlongtimeinexplaininghow

4、togettheanswer陳順宇作316.3資料標準化的應用陳順宇作32例6.6產品規格某產品規格訂為201公分，但製造的產品平均數是m=19.8公分，s=0.5公分。試問產品中合格的比例是多少？又問產品中有多少比例是超過規格上界？陳順宇作33陳順宇作34陳順宇作35陳順宇作36陳順宇作37例6.7某生國文考80分，數學考60分，是否此生在班上國文表現比數學好？陳順宇作38陳順宇作39例6.8成績標準化算法：某次考試全班考的不理想，老師想給學生加分，如何加分才算公平呢？陳順宇作40傳統上有三種做法(1)所有學生一律加a分(2)開平

5、方再乘以10，如某生考16分則開平方再乘以10，加分後變成40分。(3)分數乘a再加b分，但問題是a,b如何取才好？陳順宇作41解決之道是利用標準化方式得標準化成績後乘以a再加by=ax+b其中a表示老師想給的全班標準差，b表示老師想給全班的平均分數。陳順宇作42例如原先全班平均分數50分、標準差6分但老師想調為全班平均70分、標準差8分則某生原先考62分，標準化分數為，因此加分後得2×8+70=86分。y=ax+b,b:5070,a=68,x=(62-50)/6=2陳順宇作43很多離散型隨機變數其機率分配圖長相也有中間高、兩邊低

6、的現象，例如第五章例5.25(其中p=0.5、0.2、0.8三個二項分配機率圖(尤其是p=0.5)都像一鐘形陳順宇作44當很大時，以二項分配求此機率值不容易陳順宇作45修正公式陳順宇作46Theteacherdidexplainit,about0.5陳順宇作47二項分配線圖陳順宇作48P(a≦x≦b)=P(a)+P(a+1)+…+P(b)陳順宇作49二項分配長方形面積陳順宇作50常態分配近似二項分配陳順宇作51Theteacherdidexplainit,about0.5陳順宇作52Theteacherdidsay要背市公式陳順宇作

7、53例6.11、(例5.24續)分別以(1)二項分配(2)常態分配求=?陳順宇作54二項分配陳順宇作55常態分配陳順宇作56Theteacherdidsay要背公式陳順宇作57例6.12、有一選區選民有100000人，抽樣1067人，調查候選人甲得票率，若候選人甲真正得票率(開票後)是0.4求抽樣誤差在3%以內的機率?即求陳順宇作58陳順宇作59(1)超幾何分配求機率陳順宇作60(2)二項分配求近似值陳順宇作61(3)以常態分配求近似值陳順宇作62上例假設已知候選人甲的真正得票率=0.4，計算出抽樣1067人，抽樣誤差在3%以內的機率

8、，結果此機率值比95%大一點。陳順宇作63下面討論：不論候選人的真正得票率是多少，若抽樣1067人，則抽樣誤差在3%以內的機率至少是0.95(此機率值亦稱信心水準)陳順宇作64例6.13、若有一選區選民有幾萬人以上，隨機