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1、§2直角坐标系下二重积分的计算一、在矩形区域上二重积分的计算二、在x型或y型区域上二重积分的计算三、在一般区域上二重积分的计算返回一、在矩形区域上二重积分的计算定理21.8设在矩形区域上可积,且对每个积分存在,则累次积分也存在,且证令定理要求证明在上可积,且积分的结果恰为二重积分.为此,对区间与分别作分割按这些分点作两组直线把矩形D分为rs个小矩形(图21-4).记为小矩形设在上的上确界和下确界分别为和.在区间中任取一点于是就有不等式其中因此其中记的对角线长度为,于是由于二重积分存在,由定理21.4,当时,使和有相同的极限,且极限值等于因此当时,
2、由不等式(2)可得:(3)由于当时,必有因此由定积分定义,(3)式左边定理21.9设在矩形区域上可积,且对每个积分存在,则累次积分也存在,且定理21.9的证明与定理21.8相仿.特别当在矩形区域上连续时,则有例1计算其中解应用定理21.8(或定理21.9),有对于一般区域,通常可以分解为如下两类区域来进行计算.称平面点集为x型区域(图21-5(a));称平面点集为y型区域(图21-5(b)).二、在x型或y型区域上二重积分的计算这些区域的特点是当D为x型区域时,垂直于x轴的直线至多与区域D的边界交于两点;当D为y型区域时,直线至多与D的边界交于两
3、点.定理21.10若在如(4)式所示的x型区域D上连续,其中在上连续,则即二重积分可化为先对y、后对x的累次积分.证由于与在闭区间上连续,故存在矩形区域(如图21-5(a)).现作一定义在上的函数容易知道函数在上可积,而且类似可证,若D为(5)式所示的y型区域,其中在上连续,则二重积分可化为先对x、后对y的累次积分例2设D是由直线及围成的区域(图21-6),试计算:的值.解若用先对y、后对x的积分,则有由于的原函数无法求得,因此改用另一种顺序的累次积分来计算:例3计算二重积分其中D为由直线及所围的三角形区域(图21-7).解当把D看作x型区域时,
4、相应的所以例4求两个底面半径相同的直交圆柱所围立体的体积V.解设圆柱底面半径为a,两个圆柱方程为利用对称性,只要求出在第一卦限(即)部分(见第十章图10-9)的体积,然后再乘以8即得所求的体积.第一卦限部分的立体是一曲顶柱所以它的体积为D:底为四分之一圆域体,曲顶为于是三、在一般区域上二重积分的计算边界为分段光滑曲线的有界闭域,一般可把它分解成有限个除边界外无公共内点的x型区域或y型区域.如图21-8所示,D被分为x型区域,为y型区域.解成三个区域,其中、例5设为上的连续函数,试将二重积分化为不同顺序的累次积分.解(1)先对积分,再对积分.(见图
5、21-9),其中为此设所以有(2)先对积分,再对积分.类似地有:(见图21-10)例6计算其中解记(见图21-11)则又有
