极限的概念PPT课件

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1、二、函数的极限一、数列的极限第三节极限的概念第一章一、数列的极限引例设有半径为R的圆,用其内接正n边形的面积An逼近圆面积S.1.实例分析——刘徽割圆术(公元三世纪)设圆内接正n边形的面积为R2.数列极限的定义(1)数列：简记作称为通项(一般项).数列也称为整标函数.自变量取正整数的函数,例如,随着n趋于无穷,数列的通项有以下两种变化趋势:可以看到,通项无限趋近于一个确定的常数;(2)通项不趋近于任何确定的常数.设有数列如果当n无限增大时,xn无限趋近于某个确定的常数a,的极限,这时,也称数列{xn}收敛于a.否则,称数列{xn}发散.则称a为数列{xn}记作(2)数列极限的定义定义1.1“当

2、n变得任意大时，变得任意小”“要使任意小，只要n充分大”“充分大”与“任意小”并非彼此无关.…由此可见：“充分大”由“任意小”所确定.如何描述“任意小”？可以用抽象记号表示“任意小”的正数.注意：任何固定的很小的正数都不能表示“任意小”.如何刻划n“充分大”？只要要使不一定是正整数，注意到：从而有于是使得当时，有“充分大”定义1.2若数列及常数a有下列关系:当n>N时,总有记作此时也称数列收敛,否则称数列发散.或则称该数列{xn}的极限为a,3°N由所确定，故记但不唯一.4°不能与n有关.5°数列极限的定义未给出求极限的方法.注一般来说，ε越小，N越大;2°1°3.几何解释时，恒有由此易知：

3、例如：不存在.O-121(k=1,2,…)x2a例1已知证明数列的极限为1.证要使即只要因此,取则当时,就有故N是正整数,所以要取整证所以结论:常数数列的极限等于同一常数.例2证(1)(2)要使即只要例3例4证分析N不唯一,证明时可以适当放大故得证.也可由取证明：证要使只要即则当n>N时，有从而例5思考:对于例5,下列推导是否正确：要使只要故取……N不能与n有关！注将适当放大的目的，是为了易于求N.放大时，应该注意放大要适度！小结:用定义证明数列极限存在时,关键是针对任意给定的>0,寻找正整数N,而不必找那个最小的正整数N.自变量的变化过程有六种形式:二、函数的极限1.x时函数f(x

4、)的极限播放(1)定义1.3设函数当(M为某一正数）时有定义,如果存在常数A,当时,有则称常数A为函数当时的极限,记作当时,有(2)几何解释注当时,有当时,有1°时函数f(x)的极限：定理2°或则称直线y=A为曲线y=f(x)的水平渐近线.如果例如，都有水平渐近线都有水平渐近线又如，再如，有水平渐近线例6证明证取因此注就有故欲使即2.xx0时函数f(x)的极限(1)时函数极限的定义引例测量正方形面积.面积为A)边长为(真值:边长面积直接观测值间接观测值任给精度,要求确定直接观测值精度:定义1.4设函数在点的某去心邻域则称常数A为函数当时的极限,或当时,总有内有定义.如果存在常数A,记作几

5、何解释:注xO1例7证明证故对任意的当时,因此总有例8证分析例9证明证故取当时,必有因此证只要例10左极限:有极限存在的充要条件:(2)单侧极限当时,右例11设函数讨论时的极限是否存在.解因为所以不存在.内容小结1.数列极限的“–N”定义及应用2.函数极限的或定义及应用思考与练习1.若极限存在,2.设函数且存在,则是否一定有3.左、右极限定义及左、右极限相等的充要条件故时,例4-1已知证明证要使只要即取则当N不唯一,证明时可以适当放大也可由取有例5-1证注意到为了使于是a=因此,则当n>N时,有只要使证例5-2证例6-1例6-2证例9-1证明证要使取则当时,必有因此只要例10-1证由不等式可

6、得已知即于是证明了左右极限存在，但不相等,证例11-1例11-2解的左极限及右极限，并说明函数在点x=1处的极限存在与否.故函数在点x=1处的极限存在，且1.x时函数f(x)的极限1.x时函数f(x)的极限1.x时函数f(x)的极限1.x时函数f(x)的极限1.x时函数f(x)的极限1.x时函数f(x)的极限1.x时函数f(x)的极限1.x时函数f(x)的极限