《线性代数》总复习资料小抄版（考试必备）

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1、线性代数总复习第一部分矩阵一、矩阵的本质——数表二、矩阵的定义1、由加X〃个数构成2、山列向就构成或行向虽构成（2）用初等变换法求5、利用分块矩阵p508•、矩阵的功能——打包1、线性方程组的矩阵形式AX=b2、二次型的矩阵形式于（兀1，兀2,…，兀3、线性替换的矩阵形式三、矩阵的运算力II、减、数乘、乘法九、式I勺本质——数例如：ZX为3阶矩阵，且

2、A

3、=2,求

4、34

5、=?四、矩阵的运算规律重点关注与实数运算不一样的地方例如：1、AB工BA2、AB=0，则A=0或B=0?3、AB=AC,则B=C五、初等矩阵1、定义（3）川初等变换法求Xt

6、AX的标准型的原理及工具六、矩阵的秩1、定义：非零子式的最高阶数、列向量的秩、行向量的秩。2、如何求矩阵的秩（1）利用定义（2）化为阶梯型矩阵七、求逆矩阵1、利用定义例如X=CY矩阵方程如AX=X+C2、行列式的计算（1）利用定义：行列式的值等于全部一般项之和。（零元素特别多的情况）（2）利用性质第二部分线性方程组研究方法一矩阵2、作用用初等矩阵从左右两边乘以一个矩阵的含义。3、几个重要的原理2、（1）用初等变换法求、A-1的原理及工具3、（WA2_3A+堆玄野的3种形式A_i1、线性方程组的标准形式求A利用伴随矩阵A1初等变化法（原理、工

7、具）解方程anX±+。12兀2+«21X1+a22X2+•…2、线性方程组的矩阵形式（anai2a21a22,则有唯一:Aa=：M^②如并缶溥三叔(4、骚，则有无穷多解；3、无穷多个解的情况下，求出全部解①齐次线性方程组的原因2、坐标变换也具冇矩阵形式a213.向量形式兀a+x2a2+••f%%②弐泸性方程组情况兀1，兀2,原处标系下的处标三、利用矩阵解线性方程组，儿1、如果A为方阵，且A工0,则丿1』2八新坐标系下的坐标两坐标有如下关系：H=C］』i+Ci2比=C2』i+C22X=A^b（Gramcr法则）第三部分二次型一、二次型的木质二、

8、研究方法一矩阵2、利用增广矩阵(a.w用矢険卵睾的原凹••丄城因1：二倔具有矩阵形式伽业式如下：（Ab）=a”♦a了bfl/（岁1，兀2,…，蜕）=••(5C2am2bnXnJ3、利用增广矩阵解方程组的原理四、线性方程组有解判定定理^X=CY1、有解的条件:原因3、实对称矩阵具有某些特殊性质1.实对称矩阵的特征值都是实数2、A为实对称矩阵，2,为它的一个特征值，重数为则对应的特征向II量屮线性无关的向量个数达C可逆；2、相关性质和定理a0）=角®②（禺0）=00到FZ厂推论：实对称矩阵一定与对角型矩阵相似。3.实对称炖阵不同特征值对应的特

9、征向最正交。第四部分特征值与特征向量4、设A是实对称矩阵,则存在正一、研究H的找到矩阵A.与对角阵A相似的条件：三.如何证明一个向量组线性无关K根据定义：令该向量组的线性组合为零，然后证明纽.合系数只能为零。2、如果向量组为具体向量，则证明3如果四、结论(as••为方阵，则证明Q'AQ成对角阵。任何一个实二次型:二特征值与特征向量Aa=Xa三、特征值与特征向量的性质见教材P133P135f(XY•••令•求劭与聚漏骤五、矩阵与对角阵都可以经过可逆线性替换化成标准型。标准型可进一步化成规范型，规范型是唯一的。五、化为标准熨的具体办法1、正交替

10、换法；2、配方法;3、初等变化法；二次型的分类1、正定2、负定3、半正定4、半负定5、不定型七、正定二次型的判定1、考察两数值2、考察运算3、考察特征值4、考察矩阵的内部结构八、其他类型二次型的判定九、合同矩阵1、定义：A=CTBC,其中2、对每一个特征值，求对应的特征向量;和似的条A~AoA有n个线性无关的特征向暈P^AP=A七、相似矩阵的性质(见教材P137)第五部分71维向量一、研究的原因矩阵的行与列，线性方程组的解,n维空间中点的坐标等都是向量。二、向量间的运算1、线性运算：加法、减法、数乘2、内积内积的计算冇两种方法：①四、如何

11、证明一个向量组线性相关五、线性相关、线性无关涉及的定理六、如何证明一-个部分组为极大无关组1、该部分组线性无关；2、这种无关的状况达到最大；七、向最组的秩1、定义2、如何求一个向量组的秩3、如何求一个向量组的极人无关组八、与秩有关的定理P102九、正交矩阵1、从结构上考察：山单位正交向量组构成；2、从运算上考察：=E或：Ar3、相关的定理P125十、施密特正交化