数学符号化的扩充：数理逻辑的兴起=论文

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1、大学研究生学位课程论文论文题目：数学符号化的扩充：数理逻辑的兴数学符号化的扩充：数理逻辑的兴起扌商要：代数使计算变得精确和方便，也使计算方法系统化，“通用代数”的发展为把一切推理都化归为计算，为符号逻辑的公理系统的建立奠定了基础。木文重点叙述了代数发展对数理逻辑的兴起和发展的重要影响。关键词：数学；符号化；数理逻辑；兴起数学的主要内容是计算和证明。在十七世纪，算术I大I符号化促使了代数学的产生，代数使计算变得精确和方便，也使计算方法系统化。费尔马和笛卡儿的解析几何把几何学代数化，大大扩展了几何的领域，而冃使得少数天才

2、的推理变成机械化的步骤。这反映了代数学作为普遍科学方法的效力，于是笛卡儿尝试也把逻辑代数化。与笛卡儿同吋代的英国哲学家霍布斯也认为推理带有计算性质，不过他并没有系统地发展这种思想。现在公认的数理逻辑创始人是莱布尼兹。他的目的是选出一种“通用代数”,其屮把一切推理都化归为计算。实际上这正是数理逻辑的总纲领。他希槊建立一套普遍的符号语言，其中的符号是表义的，这样就可以象数字一样进行演算，他的确将某些命题形式表达为符号形式，但他的工作只是一个开头，大部分没有发表，因此影响不大。真正使逻辑代数化的是英国数学家布尔，他在184

3、7年岀版了《逻辑的数学分析》，给出了现代所谓的“布尔代数”的原型。布尔确信符号化会使逻辑变得严密。他的对彖是事物的类，1表示全类，0表示空类；xy表示x和y的共同分了所组成的类，运算是逻辑乘法；x+y表示x和y两类所合成的类，运算是逻辑加法。所以逻辑命题可以表示如下：凡x是y可以表示成xd—y)=0；没有x是y可以表示成xy=Oo它述可以表示孑盾律x(l—x)=0；排中律x+(1—x)=lo布尔看岀类的演算也可解释为命题的演算。当x、y不是类而是命题，则x=1表示的是命题x为真，x=0表示命题x为假，1—x表示x的否

4、定等等。显然布尔的演算构成一个代数系统，遵守着某些规律，这就是布尔代数。特别是它遵从德?莫尔根定律。美国哲学家、数学家小皮尔斯推进了命题演算，他区别了命题和命题函数。一个命题总是真的或假的，而一个命题函数包含着变元，随着变元值选取的不同,它可以是真也可以是假。皮尔斯还引进了两个变元的命题函数以及量词和谓词的演算。对现代数理逻辑贡献最人的是德国耶拿人学教授、数学家弗雷格。弗雷格在1879年出版的《概念文字》一书中不仅完备地发展了命题演算，而且引进了量词概念以及实质蕴涵的概念，他还给出一个一阶谓词演算的公理系统，这可以说

5、是历史上第一个符号逻辑的公理系统。因此在这本只有88页的小册子小，包含着现代数理逻辑的一个颇为完备的基础。1884年，弗雷格的《算术基础》出版，后來又扩展成《算术的基本规律》。不过由于他的符号系统烦琐复杂，从而限制了它的普及，因此在十九世纪时，他的著作流传不广。后来由于罗素的独立工作，才使得弟雷格的工作受到重视。用符号语言对数学进行公理化的是意大利数学家皮亚诺，他在1889年用拉丁文写了一本小册了《用新方法陈述的算术原理》。在这Z前，皮亚诺已经把布尔和施罗德的逻辑用在数学研究上，并且引进了一系列对于他前人工作的更新。

6、例如对逻辑运算和数学运算使用不同的符号，区别范畴命题和条件命题，这引导他得出量词理论。这些改进都是对于布尔和施罗德理论的改进，而不是对弗雷格理论的改进，因为当时皮亚诺还不知道弗雷格的工作。在《算术原理》中，他在引进逻辑概念相公式之后，开始用符号的记法来重写算术，在这木书中他讨论了分数、实数、甚至极限和点集论中的概念。皮亚诺引进最原始的算术概念是“数”“1”“后继”和“等于”，并且陈述了关于这些概念的九条公理。今天我们认为其屮公理2、3、4、5都是讨论恒等的,应该屈于逻辑公理，所以就剩下了五条公理。这就是现在众所周知的

7、皮亚诺公理。最后一条公理即公理9,就是所谓数学归纳法原理，他用类的词句来表述，其中包含一个类变元。皮亚诺承认他的公理化來自戴德金。从1开始，皮亚诺用x+1来表示后继函数。然后作为定义引进了加法和乘法。这些定义是递归的定义。虽然在他的系统中，皮亚诺没有彖戴德金那样有力的定理可资利用，但皮亚诺并没冇公开地宣称这些定义可以去掉。这本书的逻辑部分还列岀命题演算的公式，类演算的公式，还有一部分量词的理论。皮亚诺的符号要比布尔和施罗德的符号高明得多，标志着向近代逻辑的重要转变。他还对于命题的演算和类演算做了某些区别。这就是我们现

8、在的两种不同演算，而不是同一种演算的两种不同解释。它的普遍量词记号是新的，而且是便利的。不过书里还是存在缺点，如公式只是列出來的，而不是推导出來的；因为没冇给出推导规则，皮亚诺引进了代入规则的概念，但是也没冇给出任何规则；更严重的是他没有给出任何分离规则，结果尽管他的系统有许多优点，但他没有可供使用的逻辑。一直到后来，他才在一系列文章，特别是1