数学建模及典型案例分析

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1、数学建模及典型案例分析李志林，欧宜贵编著化学工业出版社广西民族大学数学与计算机科学学院曹敦虔制作9优化模型在生产实践中,我们总希望能够达到最优.生产希望成本最少,销售希望利润最大,投资希望风险小而获利大,买东西希望既便宜质量又好,不一而足.有些优化是简单的优化,通过初等数学的知识甚至直观判断就可以得到最优的结果.有些优化却比较复杂,往往存在两难选择,需要使用特殊的优化方法才能得到最优的结果.并不是所有优化目标都能得到最优的结果,常常我们只能得到局部最优或是近似最优.优化模型的类型优化模型数学规划线性规划非线性规划整数规划组

2、合优化网络优化动态规划随机规划数学规划模型数学规划模型通常表述成如下形式min(或max)z＝f(x)s.t.gi(x)≤0,i=1,2,…,m目标函数决策变量约束条件数学规划模型三要素注:1.约束条件中的不等号也可以是等号.2.约束条件的解称为可行解,可行解集称为可行域.数学规划的分类线性规划目标函数和所有的约束条件都是决策变量的线性函数非线性规划目标函数和约束条件至少一有个是决策变量的非线性函数整数规划限定决策变量只能取整数.若限制只能取0或1则称为0-1规划.多目标规划有多个目标函数1奶制品的生产与销售问题一奶制品

3、加工厂用牛奶生产A1，A2两种奶制品，1桶牛奶可以在设备甲上用12小时加工成3公斤A1，或者在设备乙上用8小时加工成4公斤A2。根据市场需求，生产的A1，A2全部能出售，且每公斤A1获利24元，且每公斤A2获利16元。现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间为480小时，并且设备甲每天至多能加工100公斤A1，设备乙的加工能力没有限制。试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大。奶制品的生产与销售问题分析1桶牛奶3公斤A112小时8小时4公斤A2或获利24元/公斤获利16元/公斤50桶牛奶时间480小时

4、至多加工100公斤A1制订生产计划，使每天获利最大每天：奶制品的生产与销售问题分析目标：使每天的获利最大决策：每天用多少桶牛奶生产A1，用多少桶牛奶生产A2条件：原料供应，劳动时间，设备能力奶制品的生产与销售x1桶牛奶生产A1x2桶牛奶生产A2获利24×3x1获利16×4x2原料供应劳动时间加工能力决策变量目标函数约束条件非负约束奶制品的生产与销售模型建立将上面的式子写成数学规划形式(I)奶制品的生产与销售模型建立也可写成形式(II)其中，，，奶制品的生产与销售模型建立还可写成形式(III)其中n＝2，m＝3.奶制品的生产

5、与销售由于目标函数和约束条件对于决策变量而言都是线性的，所以称为线性规划（LinearProgramming，简记作LP）奶制品的生产与销售模型求解方法1：图解法方法2：单纯形法方法3：用软件求解奶制品的生产与销售模型求解——图解法L1:x1+x2＝50x1+x2>50x1+x2<50L2:12x1+8x2＝480L3:3x1＝100L4:x1＝0L5:x2＝0L0:72x1+64x2＝0(20,30)最优解：x1＝20x2＝30每天获利z＝3360ΩL'0:72x1+64x2＝3360奶制品的生产与销售模型求解——使用L

6、indo软件打开Lindo6.1，输入如下模型MAX72x1+64x2STx1+x2<5012x1+8x2<4803x1<100End在Lindo中输入模型注意事项只能求解线性规划模型；目标函数以MAX或MIN开头，约束条件以ST或SUBJECTTO开头，最后以END结束；不能出现乘号，系数必须放在变量之前，系数与变量之间可以有空格，约束条件右端必须是常数；决策变量已经规定为非负，不必再输入非负条件；可以使用Free来取消非负限制；运算符只能是“+”或“－”，约束条件中的不等号用“<”或“>”，等号用“＝”；不能使用括号和

7、逗号。一个表达中不能出现同一个变量2次或以上。可以使用Lindo求解线性整数规划和线性0－1规划，可以使用GIN限制变量为整数，使用INT限制变量为0或1；Lindo不区分字母大小写。奶制品的生产与销售最优解：x1＝20x2＝30每天获利z＝3360求解结果LPOPTIMUMFOUNDATSTEP2OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)3360.000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX120.0000000.000000X230.0000000.000000ROWSLACKORSURPLUSDUA

8、LPRICES2)0.00000048.0000003)0.0000002.0000004)40.0000000.000000NO.ITERATIONS=2图解法与使用Lindo求解法比较图解法直观易懂，有助于我们掌握问题本质；但是求解速度慢，只方便用于二元问题。使用Lindo软件求解的优点是速度快，可