16三角恒等变换的技巧总结

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1、§16常用三角恒等变换技巧、变角【例1］设0为锐角，若cos@+f)斗，则sin(2o+佥)的值为.【答案】乎【例2］已知tan(a+")=£，tan(/?+彳)=扌，则tan(仇一却的值为()【答案】舟二、变函数名【例3】在△ABC中，C为钝角，设M=sin(4+B),N=sinA+sinBfP=cosA+cosBf则必MP的大小关系・【答案】M

2、立的是()C成等差数列，tanA+tanC—tanAtanBtanC=(A.f(sinA)f(cosB)C.f(sinA)>/(sinF)D.f(cosA)>/(cosB)【答案】〃【例4］已知函数/"(X)=m2-2cosx•m—sin?兀在cos兀=-1时取得最大值，在cosx=m时取得最小值，则实数加的取值范围为()A.—y/3B•一普D.V3【答案】AA.m<-1B.m>1C.O

3、nx的最小值和最大值分别为()A.—3,1B・—2,2C・一3,丰乙D.-2鳥【答案】c【练习3］函数y=cos2x+sinx一1的值域为()A•[-抄B.[0,J]C・[―2,扌]D.[-吋]【答案】c三、变公式【例5】若非直角氐ABC的内角久B、)【例6?求值：cos20°cos40°cos60°cos80°sin160。"16sin20°116【简解】原式詁壘竺.卫型L.空型22sin20°2sin40°2sin80°【练习】求值：sin10°-sin30°sin50°-sin70°【练习

4、1】求证：tanxtan2%+tan2xtan3%htan[(/?-l)xltannx=tannotanx【简证】因为5口兀=(an[d—(R-1)兀]=―'ari*~,k=2,3,4,•••，^1+tanfcttan(^-l)x所以tan(—l川an&J311尬—伽tanx亠.丄tan2x-tanxtan3x-tan2xtan4x-tan3xtannx-tan(/?-1)x:tantvc左边二+++…+H+1=ntanxtanxtanxtanxtanx【练习2】在锐角三角形MC中，角A,B,C

5、的对边分别为a,b,c.若a=2bsinC,则tanA+tanB+tanC的最小值是()A.4B・3V3C・8D・6V3【答案】C【解析】解：在锐角三角形ABC中，sinA=sin(B+C)=sinBcost*+cosBsinC.、：a=2bsinC,・•・sinA=2sBsC,・•・sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC,化简可得tanB4-tanC=ZtanBtanC①.vtanA=—tan(F+C)tanB+tanCtanFtanC-1>0,tan4+tanB+ta

6、nf=tanA•tanB・tanC②,且tanfi•tanC—1>0.则tanA+tanB+tanC=tan4•tanB•tanC=器晋-tanBtanC,通常把asm0+bcos0=^a2+b2sin(^+cp)nq做辅助角公式(也叫化一公式)，其作用是把同角的正弦、余弦的代数和化为y=Asin(mv+0)的形式，来研究其图象与性质.深入本质：dsin&+/?cos&=+52(-^-61sin&+r~^~^=cos0)因为(za)2+(.^)2=1故可令yja2+b2yja2+/?2'+b2y

7、/a2+/?2'=cos©,=sin(p于是才有asin&+Z?cos&=Jq?+//sin(&+0)(其中卩由tan°=—确定).yja2+b2y/a2+Z?2，a尤其是当—=±1,±羽,土逼时，要熟记其变换式，$0sinx+cosx=V2(sinfx+—,b3I4丿V3sinx-cosx=2(sinx等.k6丿【例7]已知函数/Xr)=sin(2x+8)+靖cos(2x+0)(兀6R)满足2015代一“)=莎占面，且/'(尤)在[°£]上是减函数，贝怕的一个可能值是()A.IB.yC.yD.

8、y【答案】B【思路】由题意易得/(x)=2sin(2x+0+j)且是奇函数，可得e+f=k7r(kwz),结合单调性验证选项可得.【例8】求函数1+SinV的值域.【简解】由1+Sinv得3y+ycosx=l+sinx,所以3+cosx3+cosx,COS0=sinx-ycosx=3^-l,从而Jl+天sin(%+^)=3y-,其中辅助角/由sin©=决定.所以，由

9、sin(x+^)

10、=351解得0“亏【答案】B值为()【练习1】若函数f(x)=sina)x4-/3cosa)xfx6Rf又/