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《2017年高中数学人教a版选修4-4学案第二讲三直线的参数方程含解析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、庖丁巧解牛知识•巧学直线参数方程的形式X=+/COSG,过定点Mo（x（）,y。）、倾斜角为a的直线丨的参数方程为彳°.（t为参数），我们把这一形式称为直线参数方程的标准形式，其中t为参数.直线参数方程中参数t的几何意义：表示直线1上以定点M。为起点，任意一点M（x,y）为终点的有向线段的数量M0M.联想发散很明显，我们也可以把参数t理解为以M（）为原点，直线1向上的方向为正方向的数轴上点M的坐标，其长度单位与原直角坐标系的长度单位相同.t是直线上有向线段的数量，当aW（O,町吋,M在M。的上方吋,t>0；M在Mo的下方吋,t<0；M与Mo重合时,t=0.[x=xn+
2、rcoscr,当a=90。吋，2°.（t为参数）可化为x=x°,因此在使用吋，不必研究直线斜率不存在X=时的情况.特别地,若直线1的倾角a=0时道线1的参数方程为。当t>0时，点M在点M（）的右侧；当t=0时,点M与点M（）重合；当t<0时，点M在点M（）的左侧.*x=x（｝+at,深化升华若直线的参数方程为一般形式0'（t为参数），可把它化为标准形式:g+防x=cosa.b°…（t%参数），其中a是直线的倾斜角tana=-,llk吋参数F才有如前所说的几何意义.同一直线方程的参数方程有多种形式，如<（t为参数）和尸2+』为参数）表示同一条直线，但后者参数t没有几何
3、意义•直线的参数方程%=X°+为参数）只有当a2+b2=l且b>0时渗数t才有意义.y=y^bt（t为参数），其中bNO,若a>0,则直线的倾斜角a为锐角；若a<0,则直线的倾斜角a为钝角；若a=0,则直线的倾斜角a为直角.问题•探究问题1在解决某些问题时可以使用某些已知的结论或公式,正确使用这些结论可以简化运算,使问题的解决更快捷.那么对于直线的参数方程又有哪些常用的结论呢？x=x（.+tcosa.探究:根据直线参数方程中参数的几何意义,设直线1的参数方程为彳0.（t为参y=+tsina数），直线1上点A,B对应的参数分别为tA、电,则（1）A、B两点之间的距离为
4、IABI=Ita-tbI，特别地,A、B两点到点Mo的距离分别为如、血
5、;⑵A、B两点的屮点所对应的参数为匚+4，若点Mo是线段AB的屮点，则tA+tB=O,反之亦然;2（3）若直线上的点C所对应的参数为feC点分期所成的比为人则匚=从*牛.1+2问题2通过学习直线参数方程后我们了解到：直线参数方程的一般形式中的参数不具有儿何意义，只有标准形式中的参数才具有一定的几何意义•那么直线的一般参数方程怎样才能转化为标准的参数方程呢？x=xn+at.探究:给出直线的非标准式参数方程°（t为参数），根据标准式的特点，参数t的系数[y=y^bt应分别是倾斜角的正弦和余弦值，根据三
6、角函数的性质知，其平方和为1,所以可以化为X=Xn+/X+/?分,为参数），再近一步令cosa=b,sina=,-根据直线倾斜角的范围让a在[0,兀）范围内取值,并且把Q蒂t看成相应的参数t,即得标兀=兀“+/cosa,准式的参数方程彳0.（t为参数）.y=y0+tsma兀二兀“+at,/—：T由转化的过程可以看出，在一般参数方程彳°（t为参数）中,具有标准式参y=Jo+bt数方程中参数的儿何意义.所以，有些较简单的问题可以不必转化为标准式而直接使用，求出相应的t,再乘以仃匚沪即可继续使用参数的儿何意义.问题3直线和圆锥曲线的位置关系问题是几何中最常见的问题，对于普
7、通方程，可以把它们的方程联立，根据方程组解的情况來判断交点情况.那么对于参数方程，又该如何判断它们的交点情况呢？探究:对于直线的普通方程可以把直线方程与圆锥曲线方程联立消去一个变量后，根据方程解的情况来判断直线和圆锥曲线的交点情况，对于直线的参数方程可以把参数坐标的横坐标和纵坐标直接代入圆锥曲线方程,得到关于参数t的方程，判断方程的解的情况即可得到直线与圆锥曲线的交点情况.另外，由于直线的参数方程尤其是标准式的参数方程，根据方程容易I田i出相应的直线•所以，也可以根据方程画出相应的图形，采用数形结合来判断交点情况•当然有些问题也可以把直线的参数方程转化为普通方程來解.
8、典题•热题例1写岀直线2x-y+l=0的参数方程拼求直线上的点M(l,3)到点A(3,7)、B(8,6)的距离.思路分析：要写出参数方程,首先根据直线的普通方程可以看出直线的斜率为2,设直线的倾斜角为a,则tana=2,则sina=—,cosa=—据后边要求的点M恰好在直线上，为了后边的运算方便,选择M作为直线上的定点.要求点M到A、B的距离可以根据参数方程的特点及几何意义或者两点之间的距离公式都可以.解：根据直线的普通方程可知斜率是2,设直线的倾斜角为a,则tana=2,sincz=^,cosa=^所以直线的参数方程是I2逅X=]15y=3+—r5
