3.机械能和功习题

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1、习题3-1.如图，一质点在几个力作用下沿半径为R=20m的圆周运动，其中有一恒力F=0.6iN，求质点从A开始沿逆时针方向经3/4圆周到达B的过程中，力F所做的功。解：由做功的定义可知：3-2.质量为m=0.5kg的质点，在xOy坐标平面内运动，其运动方程为x=5t2,y=0.5(SI),从t=2s到t=4s这段时间内，外力对质点的功为多少？由做功的定义可知：3-3.劲度系数为k的轻巧弹簧竖直放置，下端悬一小球，球的质量为m，开始时弹簧为原长而小球恰好与地接触。今将弹簧上端缓慢提起，直到小球能脱离地面为止，求此过程中外力的功。根据小球是被缓慢提起的，刚脱离地面时所受的力为

2、F=mg，可得此时弹簧的伸长量为：由做功的定义可知：3-4.如图，一质量为m的质点，在半径为R的半球形容器中，由静止开始自边缘上的A点滑下，到达最低点B时，它对容器的正压力数值为N，求质点自A滑到B的过程中，摩擦力对其做的功。分析：Wf直接求解显然有困难，所以使用动能定理，那就要知道它的末速度的情况。解：求在B点的速度：N-G=可得：由动能定理：3-5.一弹簧并不遵守胡克定律，其弹力与形变的关系为，其中和单位分别为和．（1）计算当将弹簧由拉伸至过程中，外力所做之功；（2）此弹力是否为保守力?解：（1）由做功的定义可知：（2）由计算结果可知，做功与起点和终点的位置有关，与其

3、他因素无关，所以该弹力为保守力。3-6.一质量为的物体，在力的作用下，由静止开始运动，求在任一时刻此力所做功的功率为多少。解：要求功率就必须知道力和速度的情况，由题意：所以功率为：3-7.一质点在三维力场中运动．已知力场的势能函数为.（1）求作用力；（2）当质点由原点运动到、、位置的过程中，试任选一路径，计算上述力所做的功。其中的单位为，的单位为，的单位为.解：（1）由作用力和势能的关系：（2）取一个比较简单的积分路径：，则积分可得：=9a-9b-3c3-8.轻弹簧的上端固定，下端悬挂质量为的重物。已知弹簧原长为，劲度系数为，重物在点达到平衡，此时弹簧伸长了，如图所示。取

4、轴向下为正，且坐标原点位于：弹簧原长位置；力的平衡位置。若取原点为重力势能和弹性势能的势能零点，试分别计算重物在任一位置时系统的总势能。解：（1）取弹簧原长位置为重力势能和弹性势能的势能零点，则重物在任一位置（坐标设为）时系统的总势能：（2）取力的平衡位置为重力势能和弹性势能的势能零点，则重物在任一位置（坐标设为）时系统的总势能：所以3-9.在密度为的液面上方，悬挂一根长为，密度为的均匀棒，棒的端刚和液面接触如图所示，今剪断细绳，设细棒只在浮力和重力作用下运动，在的条件下，求细棒下落过程中的最大速度，以及细棒能进入液体的最大深度。解：分析可知，棒下落的最大速度是受合力为零

5、的时候，所以：，则。在下落过程中，利用功能原理：所以：进入液体的最大深度H为细棒运动的速度为零时：所以3-10.若在近似圆形轨道上运行的卫星受到尘埃的微弱空气阻力的作用，设阻力与速度的大小成正比，比例系数为常数，即，试求质量为的卫星，开始在离地心（为地球半径）陨落到地面所需的时间。解：根据题意，假设在离地心处质点的速度为v1，地面上的速度为v2。提供卫星运动的力为万有引力：，所以在这个过程中阻力的作用时间可通过动量定理求出：通过分离变量取积分，可得：3-11.一链条放置在光滑桌面上，用手揿住一端，另一端有四分之一长度由桌边下垂，设链条长为，质量为，试问将链条全部拉上桌面要

6、做多少功？解：直接考虑垂下的链条的质心位置变化，来求做功，则：3-12.起重机用钢丝绳吊运质量为的物体时以速率匀速下降，当起重机突然刹车时，因物体仍有惯性运动使钢丝绳有微小伸长。设钢丝绳劲度系数为，求它伸长多少?所受拉力多大?(不计钢丝绳本身质量)解：当起重机忽然刹车时，物体的动能将转换为钢丝绳的弹性势能：由，可得：分析物体的受力，可得到绳子的拉力为：3-13.在光滑水平面上，平放一轻弹簧，弹簧一端固定，另一端连一物体、边上再放一物体，它们质量分别为和，弹簧劲度系数为，原长为．用力推，使弹簧压缩，然后释放。求：（1）当与开始分离时，它们的位置和速度；（2）分离之后．还能往

7、前移动多远?解：（1）当A和B开始分离时，两者具有相同的速度，根据能量守恒，可得到：，所以：;（2）分离之后，A的动能又将逐渐的转化为弹性势能，所以：，则：3-14.已知地球对一个质量为的质点的引力为（为地球的质量和半径)。（1）若选取无穷远处势能为零，计算地面处的势能；（2）若选取地面处势能为零，计算无穷远处的势能．比较两种情况下的势能差．解：（1）取无穷远处势能为零，计算地面处的势能为：（2）若选取地面处势能为零，计算无穷远处的势能为：两种情况下势能差是完全一样的。3-15.试证明在离地球表面高度为处，质量为的质点所具有的