2017学年高中数学人教a版选修2-3课堂导学：123组合（一）含解析

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1、课堂导学三点剖析一、有限制条件的组合问题——“在''与“不在''问题【例1]一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球.（1）从口袋内取出3个球，共有多少不同的取法？（2）从口袋内取出3个球，使其屮含有1个黑球，共有多少种取法?（3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，共有多少取法？解析：（1）从口袋内的8个球中取出3个球，取法种数是答：从口袋内取汕3个球，共有56种取法.（2）从口袋内取出的3个球中有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取岀2个，取法种答：取出含有1个黑球的3个球，共有21种取法.（3）由于所取出的3个球中不含黑球，也就是耍从7个白球中取出3个球，取法种数

2、是答：取出不含黑球的3个球，共有35种取法.温馨提示（1）从n个不同的元素屮，每次取出m个不同元素的组合，其中一个必须在内.这类问题的思考方法是先将这个特定元素置于其内，则只需由余下的ml个元素中每次取tBm-1个元素，再汇总原置于内的特定元素，所以符合条件的种数为（2）从n个不同的元素中，每次取出m个不同元素的组合，其中某一元素不能在内.这类问题有两种思考方法：①将这个特定元素选出，而从其余的ml个元索中每次取m个不同元素的组合，这些组合显然必符合条件，为C；Z种;②以间接法解之，即从不带附加条件的总数中，减去不合本题条件的数，为C：・C：：[种.二、有限制条件的组合问

3、题——“至多^至少”问题【例2】从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有（）A」40种B.84种C.70f中D.35不中思路分析：取出的3台电视机中要求至少有甲型与乙型各一台，它包括两种可能：2甲1乙或1甲2乙，所以可用分类计数原理和分步计数原理解决，另外也可以采用间接法.解法一从4台甲型电视机屮取2台且从5台乙型电视机屮取1台，有种取法；从4台甲型电视机中取1台且从5台乙型电视机中取2台有C->Ci种取法，所以取出的3台电视机中至少要有甲型与乙型各一台的取法共有C：+•&=70（种）.解法二从所有的9台电视机中取3台

4、有C；种取法，其中全为甲型的有C：种取法，全为乙型的有C；种取法，则至少有甲型与乙型各一台的取法有C；=70（种）.答案：C温馨提示本题解法一用了直接法，解法二用的是间接法；本题最易出现如下取法错误C：・C”C；=140（种）.这样计算就出现了重复三、求组合题的原则——“正难则反”【例3】空间屮有8个点，有且只有4个点共面，共可确定多少个平面？解析：利用间接法：不考虑限制条件，从8个点中任取3个点共有种取法，由于其中4个点共面，从这4个点中任取3个的组合数为C：,故一共确定的平面数为：C；・C；+1=53.（这里加1是因为多减了一个平面）.温馨提示有些计数问题正血情况太繁

5、杂或直接法难以入手吋，往往从问题的反面考虑更易解决.各个击破【类题演练1】从7名男同学和5名女同学中，选出5人，分别求符合下列条件的选法种数.（1）A,B必须当选；（2）A,B必不当选；（3）A,B不全当选；（4）至少有两名女同学当选；（5）选出3名男同学和2名女同学，分别担任体育委员、文娱委员等五种不同的工作，但体育委员必须男同学担任，文娱委员必须女同学担任.解析：（1）只要从其余的10人中再选3人即可，有0^=120（种）•（2）5个都选自另外10人，即有C；o=252（种）.（3）法一：分类如下：a,b中有一人当选：有c•种.A,B都不入选：有C秩种.所以共有C；

6、・C】：+C討672（种）.法二：G；・C：o=672（种）（4）间接法：C：2_C；_C；・C；=596（种）（5）法一：分三步：第一步：选一男一女分别担任体育委员、文娱委员的方法有种；第二步：选出两男一女，补足5人的方法有C>C；种;第三步：为这三人分配职务，有种；由分步计数原理，共有安排方法C>C；-C>C；-^=12600（种）法二：分两步：第一步：选出3名男同学，2名女同学，有种方法；第二步：分配职务有•C；•种.根据分步计数原理，共有安排方法C>C；.C；.C；・A；=12600（种）【变式提升1】某学习小组8名同学，从男生中选出2人，从女生中选出1人参加数学

7、、物理、化学三种竞赛，要求每科均有一人参加，共有180种不同的选法，那么该小组中男、女同学各有多少人？解析：设有男同学x人，则女同学有8・x人，第一步，先从x名男同学屮任选2名，有Cj种选法；第二步从8・x名女同学中任选1名，有种选法，两次共选出3名同学，这三名同学的组合为C}-C_x；第三步，将这3名同学全排列，有种排法.因为每个排列都对应一种参赛方式，所以，共有C；-CtxA/=180种选法，其中x的取值范围是2SxW7,xWN*.解方程，得x=5或6,8-x=3或2,即男生5人，女生3人；或男生6人，女生2人.【类题演