专题56把握递推关系解决数学归纳法问题-备战2017年高考高三数学一轮热点难点一网打尽.

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1、第56讲把握递推关系解决数学山纳法问题考纲要求：1.了解数学归纳法的原理；2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.基础知识冋顾：1、数学归纳法的定义般地，证明一个与正整数〃有关的命题，可按下列步骤进行:⑴(归纳奠基)证明当刀取第一个值必SWNJ时命题成立;⑵(归纳递推)假设刀=k(k2n©,WGN*)时命题成立，证明当n=k+吋命题也成立.法的框图表2•数学归纳应用举例：类型一、用数学归纳法证明等式例1、用数学归纳法证明下面的等式：l2-22+32-42+-+(-l)n-1-n2=(-l)n~,n.证明：⑴当H=1时,左边=工=1,右边

2、=(一1)"・IX1+12=1,・・・原等式成立.(2)假设n=k(keN*,kNl)时，等式成立,即有l2-22+32-42+-+(-l)k_1k2=(-l)k点k+1那么，当口=1<+1时，则有1

3、，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n°是多少.（2）由n=k时等式成立，推出n=k+l时等式成立，一要找出等式两边的变化（差异），明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程.类型二、用数学归纳法证明不等式例2、设数列｛%｝各项均为正数，且满足an+1=a.-at求证：对一切n>2,都有弘W止.解析•・•数列｛需各项均为正数，且满足・・・32=/—湿〉0>解得0<盘1<1・当n=2时'不等式成立,假设当n=k（心2）时，不等式成立，即占歹则当n=k+l时，禺+尸/-垃今一卜-少兮-'1__1=k+1

4、k+1二1h+2~2j~k+22

5、整数的和如下，试猜测S+$+$+…+的结果，并用数学归纳法证明.5=1,$=2+3=5,$=4+5+6=15,$=7+8+9+10=34,$=11+12+13+14+15=65,£=16+17+18+19+20+21=111,解析：由题意知，当R=1时，51=1=1°;当r=2时，S+$=16=2';当r=3时，++81—31y当尸4时，£+$+£+5=256=4';猜想：£+%+£+・・・+忑_1=亦・下面用数学归纳法证明：⑴当门=1时，5=1=1為等式成立.⑵假设当冲以圧M)时等式成立，即S+$+£+・・・+£i=F,那么?当Ji—^r

6、+1时，£+$+£+•■•+乐一i+Sm=X+[(2F+Jr+1)+(2#+&+2)+•••+(2#+比+2必+1)]=片+(2必+1)(2F+2必+1)=P+4P+6/+4必+1=(直+1儿这就是说，当尸知1时，等式也成立.根据⑴和⑵,可知对于任意的r€n5!+£+£+•••+负—=界都成立・点评：“归纳一一猜想一一证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式.其一般思路是：通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明.这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用.其关键是归纳、

7、猜想出公式.方法、规律归纳：1、用数学归纳法证明等式应注意的问题(1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，以及初始值心的值.(2)由n=k到n=k+l时，除考虑等式两边变化的项外还要充分利用n=k时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明.2.数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题.证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据.1.在用数学归纳法证明时，第(1)步验算n=n0的n0不一定

8、为1,而是根据题目要求选择合适的起始值.实战演练：1.欲用数学归纳法证明：对于足够大的正整数刀，总有2〃〉/,那么验证不等式成立所取的第一个刀的最小值应该是()A.1B.9C・1