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《【精品】全面剖析三角形“四心”向量形式的充要条件及其应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、全面剖析三角形“四心”向量形式的充要条件及其应用在高考屮，往往将“向量作为载体”对三角形的“四心”进行考查。这就需要我们在熟悉三角形的“四心”定理及向量的代数运算的基础上读懂向量的儿何意义。下面从人个方面加以阐述：1.三角形的“四心”定理的平面儿何证明；2.三角形“四心”定理向量形式的充要条件及具证明；3.与三角形的“四心”有关的一•些常见的具它向量关系式；4.欧拉线的4种证法；5.与三角形的“四心”有关的高考连接题及具应川；6.练习题.1•三角形的“四心”定理的平面几何证明①三角形三边的屮垂线交于一点，这一点为三角形外接圆称外心。证明：设AB
2、、BC的中垂线交于点0,则有0A二0B二0C,故0也在AC的中垂线上，因为0到三顶点的距离相等，故点0是AABC外接圆的圆心.因而称为外心.的圆,c?,②三角形三边上的高交于一点，这一点叫三角形的垂心。证明：AD、BE、CF为AABC三条高，过点A、B、C分别的平行线，相交成AA，BzCz,AD为C'的中垂线;BE、CF也分别为A'C‘、A'Bz的中垂线，由外心定们交于一点，命题得证.③三角形三边中线交于一点，这一点叫三角形的重心。证明：（同一法）设中线BE,CF交于点G,连结EF,则EF//BC,且EF:BC=FG:GC=EG:GB=1:2.
3、同理中线AD,BE交于G；连结DE,则:作对边同理理，它DE//AB,且EG/:G,B=DGr:G,A=DE:AB=l:2,故G,G'重合.④三角形三内角平分线交于一点，这一点为三角形内切圆的心，称内心。证明：设ZA、ZC的平分线相交于I,过I作ID丄BC,TE丄AC,TF丄AB,则有TE=TF=TD.因此I也在ZC的平分线上，即三角形三内角平分线交于一2•三角形的“四心”定理的平面向量表达式八、、•及其证明①G是纠鬥厶的重心o西+西+西=6（其中a,b,c是PP2P3NP'PR三边）证明：充分性两+西+丽；=6二>0是4PXP2P3的重心若两
4、+西+西=6，贝ij逓+亟=—西，以两，西为邻边作平行四边形oPR、P?,设0£与片巴交于点片，则片为片巴的中点，冇两+亟=西，得函=一0可，即O,PyPyP四点共线，故出P为PXP2P.的中线，同理，PQE0亦为PXP2P.的中线，所以,0为的重心。必耍性：o是PPR的重心=>遊+西+西=6如图，延长人0交££于P,则P为鬥召的中点,由重心的性质得厢胡闵.•••OPX=-20P=_2乂丄（西+西）=_（西+遞）・・・两+西+西=6Pi2②点0是bPPR的垂心<=>OPCOP2=OP2OP.=OP^OPX证明：0是bPRP、的垂心o西
5、丄丽•，丙丄西垂=0o西（西-西）=0o西硕=西两同理遞丄巫oOP^OP^OP^OP^故当且仅当0耳・遞=0可•西=西•两.③点O是bP'PR的外心o
6、op
7、=
8、o^
9、=
10、o^
11、.”「■-Z证明：0是△磁的外心o
12、
13、=
14、
15、=
16、0C
17、^OA2=OB2=OC2）（点/0到三边距离相等）[,O（0A+0B）・AB=（0B^-0C）・BC=（0C^0A）・鬲二0（0为^^0三边垂直平分线的交点）人一^；④O是PPR的内心O°西+/?万可+c•西=6。（其中a,b,c是bPPR三边）Pi证明：充分性：aVP^bVK+c-OP,=0=>O是△片巴
18、人的内心aOP、+b-OP2+cOP；=aOP、+b・(OP、+片R)+c・(O片+P}P3二(a+/?+°万斤+/?西+（?・西=6若点0为4P^P.的内心，延长片0交巴人于P,由三角形内角平分线的性质定理，有他=胆=型于是a•两+@+c）丽=6OPP2PP?PaPPrb►r再由亠=—,有OP=—
19、—0匕+^0人（定比分点）代入前式中便得PP3bb+cb+ca•0P{+b•0P2+c•0P3=6.必要性证法二：设0是AABC内任一点，以0为坐标原点，0A所在直线为X轴，建立直角处标系。并设A(p,0),B(qcosa,qsina),C(rcosP,-rsin
20、3).^中ZAOB=a,ZAOC=Ppsinpqsin(a+p)psinarsin(a+p)显然OB,OC不共线，由平面向量基本定理，可设OA=xOB+yOC(x,ywR),则p=xqcosa+yrcos卩解得0=xqsina-yrsinp•••qrsin(a+p)OA=prsin卩
21、OB+pqsinaOC•••ZAOB=a,ZAOC=p,ZBOC=2兀—(a+p),sinZBOC=-sin(a+p)—Saboc°A=SAAOCOB
