4、理，它BE、CF也分别为A'C‘、A'的中垂线，由外心定们交于一点，命题得证.③三角形三边中线交于一点，这一点叫三角形的重心。证明:（同•法）设中线BE,CF交于点G,连结EF,则EF//BC,口EF:BC=FG:GC=EG:GB=1:2.同理中线AD,BE交于G：连结DE,贝lj:DE//AB,KEG/:GrB=DGz:G/A=DE:AB=l:2^G,G重合.点.0④三角形三内角平分线交于一点，这一点为三角形内切圆的心，称内心。证明：设ZA、ZC的平分线相交丁-I,过T作ID丄BC,IE丄AC,IF丄AB,则有TE=TF=TD.2.
5、三角形的“四心”定理的平面向量表达式因此I也在ZC的平分线上，即三角形三内角平分线交于一及其证明P3①0是的重心o0人+0乙+0人=0（其中Q,b,C是PPf三边）证明：充分性两+亟+西=6=>0是4RPR的重心若莎+西+西=6,贝9西+西二一西，以遊，西为邻边作平行四边形oPR'p?,设o/V与片£交于点耳，则片为片乙的中点，有丙+西二亦，得亦二—西，即O,P3,P3,P四点共线，故Pf为A片鬥乙的中线，同理，P ,P2。亦为A片鬥鬥的中线，所以,0为的重心。必要性：0是KPPR的重心=>两+西+西=6如图，延长片0交P2
6、P.TP,则P为巴人的中点，由重心的性质得
7、^o
8、=2
9、op
10、.・・・0P}=-20P=-2x-（OP2+OP^=-（OP2+OP^：.OP^OP2+OP,=QPi②点0是P,P2P,的垂心oOPOP严OP^OP严OP「OP证明：0是A片為鬥的垂心o西丄R耳，西丄两西•丽=0o西•（西-两）=0o西•西二西两同理0片丄巴出O0P「0P=0P・0P2故当且仅当两•西=西•西=西•两.③点。是KPPR的外心o
11、op
12、=
13、oX
14、=
15、o^
16、.”证明：0是'ABC的外心oOA^OB1=10C
17、（或OA2=dB2=OC2）（点/
18、o到三边距离相等）；‘0（刃+而）・AB=（OB+OC）•BC=（OC+OA）•CA=0（O为三边B垂直平分线的交点）''、°丿④0是、PP£的内心Oa-OPx+b-OP2+c•0£=0。（其中a,b,c是纠朋三边）图2证明：充分性：°两+b死+c•西=6n0是厶片為鬥的内心a-OP}+b-OP2+c•OP?=a•OP、+b-(OPX+片马)+c・(O/J+P}P,=(a+b+c)・O片+b•片鬥+c•片呂=6所以而=be単+半,而竺，型分别是花，岳方向上的单位向量，所a+b+ccbNP'Pf、的内心。必要性：0是4P}P2P3的内
19、心=>(vOP^lyOP2+c-OP3=^若点0为'RPR的内心，延长片0交巳农于戶，由三角形内角平分线的性质定理，有POPPPPh+c——>——>一竺=竺=竺=£±£,于是a.0P+(h+c).0P=0OPP2PP.Pa1再rli竺=£,有op二丄西+丄0冃(定比分点)代入前式中便得PP、bb+cb+ca•0P}+b•0P2+c•OP?=6.必要性证法二：设o是AABC内任一点，以o为坐标原点，0A所在直线为X轴，建立直角朋标系。并设A(p,O),B(qcosa,qsina),C(rcosP，-rsinp).^中ZAOB=a,ZAO
20、C=p显然0B,OC不共线，由平面向量基木定理，可设OA=xOB+yOC(x,ywR),则psinBrsin(a+P)qrsin(a+P)OA=prsinpOB+pqsinaOC•・•ZAOB=a,ZAOC=p,ZBOC
