一元二次方程根与系数关系中考难题突破

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1、一、巧妙运用韦达定理例1先阅读下列第（1）题的解答过程（1）已知αβ是方程x2＋2x－7＝0的两个实数根。求α2＋3β2＋4β的值。解法1∵α、β是方程x2＋2x－7＝0的两实数根∴α2＋2α－7＝0β2＋2β－7＝0且α＋β＝－2∴α2＝7－2αβ2＝7－2β∴α2＋3β2＋4β＝7－2α＋3（7－2β）＋4β＝28－2（α＋β）＝28－2×（－2）＝32解法2由求根公式得α＝－1＋2β＝－1－2∴α2＋3β2＋4β＝（－1＋2）2＋3(－1－2)2＋4(－1－2)＝9－4＋3(9＋4－4－8)＝32解法3由已知得：α＋β＝－2αβ＝－

2、7∴α2＋β2＝（α＋β）2－2αβ＝18令α2＋3β2＋4β＝Aβ2＋3α2＋4α＝B∴A＋B＝4（α2＋β2）＋4（α＋β）＝4×18＋4×（－2）＝64①A－B＝2(β2－α2)＋4(β－α)＝2(β＋α)(β－α)＋4(β－α)＝0②①＋②得：2A＝64∴A＝32请仿照上面解法中的一种或自己另外寻找一种方法解答下列各题（2）已知x1、x2是方程x2－x－9＝0的两个实数根，求代数式。x13＋7x22＋3x2－66的值。解∵x1、x2是方程x2－x－9＝0的两根∴x1＋x2＝1且x12－x1－9＝0x22－x2－9＝0即x12＝x1

3、＋9x22＝x2＋912∴x13＋7x22＋3x2－66＝x1(x1＋9)＋7(x2＋9)＋3x2－66＝x12＋9x1＋10x2－3＝x1＋9＋9x1＋10x2－3＝10(x1＋x2)＋6＝16例2已知a＋a2－1＝0，b＋b2－1＝0，a≠b，求ab＋a＋b的值．分析：显然已知二式具有共同的形式：x2＋x－1＝0．于是a和b可视为该一元二次方程的两个根．再观察待求式的结构，容易想到直接应用韦达定理求解．解：由已知可构造一个一元二次方程x2＋x－1=0，其二根为a、b．由韦达定理，得a＋b＝－1，a·b＝－1．故ab＋a＋b＝－2．二、

4、先恒等变形，再应用韦达定理若已知条件或待证结论，经过恒等变形或换元等方法，构造出形如a＋b、a·b形式的式子，则可考虑应用韦达定理．例3若实数x、y、z满足x＝6－y，z2＝xy－9．求证：x＝y．证明：将已知二式变形为x＋y＝6，xy＝z2＋9．由韦达定理知x、y是方程u2－6u＋(z2＋9)＝0的两个根．∵x、y是实数，∴△＝36－4z2－36≥0．12则z2≤0，又∵z为实数，∴z2＝0，即△＝0．于是，方程u2－6u＋(z2＋9)＝0有等根，故x＝y．由已知二式，易知x、y是t2＋3t－8＝0的两个根，由韦达定理三、已知一元二次方

5、程两根的关系(或系数关系)求系数关系(或求两根的关系)，可考虑用韦达定理例5已知方程x2＋px＋q＝0的二根之比为1∶2，方程的判别式的值为1．求p与q之值，解此方程．解：设x2＋px＋q＝0的两根为a、2a，则由韦达定理，有a＋2a＝－P，①a·2a＝q，②P2－4q＝1．③12把①、②代入③，得(－3a)2－4×2a2＝1，即9a2－8a2＝1，于是a=±1．∴方程为x2－3x＋2＝0或x2＋3x＋2＝0．解得x1＝1，x2＝2，或x1＝－1，x2＝－2．例6设方程x2＋px＋q＝0的两根之差等于方程x2＋qx＋p＝0的两根之差，求证

6、：p＝q或p＋q＝－4．证明：设方程x2＋px＋q＝0的两根为α、β，x2＋qx＋P＝0的两根为α＇、β＇．由题意知α－β＝α＇－β＇，故有α2－2αβ＋β2＝α＇2－2α＇β＇＋β＇2．从而有(α＋β)2－4αβ＝(α＇＋β＇)2－4α＇β＇．①把②代入①，有p2－4q＝q2－4p，即p2－q2＋4p－4q＝0，即(p＋q)(p－q)＋4(p－q)＝0，即(p－q)(p＋q＋4)＝0．12故p－q＝0或p＋q＋4＝0，即p＝q或p＋q＝－4．四、关于两个一元二次方程有公共根的题目，可考虑用韦达定理例7m为问值时，方程x2＋mx－3＝0与

7、方程x2－4x－(m－1)＝0有一个公共根？并求出这个公共根．解：设公共根为α，易知，原方程x2+mx－3＝0的两根为α、－m－α；x2－4x－(m－1)＝0的两根为α、4－α．由韦达定理，得α(m＋α)＝3，①α(4－α)＝－(m－1)．②由②得m＝1－4α＋α2，③把③代入①得α3－3α2＋α－3＝0，即(α－3)(α2＋1)＝0．∵α2＋1＞0，∴α－3＝0即α＝3．把α＝3代入③，得m＝－2．故当m＝－2时，两个已知方程有一个公共根，这个公共根为3．12　课堂练习：1.已知关于x的方程4x2＋4bx＋7b＝0有两个相等的实数根，y

8、1、y2是关于y的方程y2＋(2－b)y＋4＝0的两个根。求以、为根的一元二次方程。  2.已知关于x的方程x2－x＋k＝0有两个不相等的实数根。（1）求k的取值范围（2）化简

9、－k－2

10、＋