弹性力学第六章用有限单元法解平面问题

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1、第六章用有限元法解平面问题第五节单元的结点力列阵与劲度列阵第四节单元的应变列阵和应力列阵第三节单元的位移模式与解答的收敛性第二节有限单元法的概念第一节基本量及基本方程的矩阵表示概述第六节荷载向结点移置单元的结点荷载列阵第六章用有限元法解平面问题例题第十一节应用变分原理导出有限单元法的基本方程第十节计算实例第九节计算成果的整理第八节解题的具体步骤单元的划分第七节结构的整体分析结点平衡方程组习题的提示与答案教学参考资料第六章用有限单元法解平面问题概述1.有限元法(FiniteElementMethod，简称FEM)—是弹力的一种近似解法。首先将连续

2、体变换为离散化结构，然后再应用结力方法或变分法进行求解。FEM2.FEM的特点（1）具有通用性和灵活性。简史3.FEM简史FEM是上世纪中期才出现，并得到迅速发展和广泛应用的一种数值解法。1943年柯朗第一次在论文中提出了FEM的概念。（2）对同一类问题，可以编制出通用程序，应用计算机进行计算。（3）只要适当加密网格，就可以达到工程要求的精度。1956年，特纳等人提出了FEM。20世纪50年代，平面问题的FEM建立，并应用于工程问题。1960年提出了FEM的名称。20世纪60年代后，FEM应用于各种力学问题和非线性问题，并得到迅速发展。1970

3、年后，FEM被引入我国，并很快地得到应用和发展。简史导出方法5.本章介绍平面问题的FEM，仅叙述按位移求解的方法。且一般都以平面应力问题来表示。4.FEM的两种主要导出方法:应用结力方法导出。应用变分法导出。§6-1基本量和基本方程的矩阵表示采用矩阵表示,可使公式统一、简洁，且便于编制程序。本章无特别指明，均表示为平面应力问题的公式。面力位移函数应变应力结点位移列阵结点力列阵基本物理量：体力基本物理量物理方程其中D为弹性矩阵，对于平面应力问题是FEM中应用的方程：几何方程应用的方程——结点虚位移，——对应的虚应变。在FEM中，用结点的平衡方程

4、代替平衡微分方程，后者不再列出。应用的方程ij虚功方程其中以下来导出FEM。1.结构离散化——将连续体变换为离散化结构；§6-2有限单元法的概念FEM的概念，可以简述为：用方法求解弹力问题结力。即1.将连续体变换为离散化结构。2.再应用结力方法进行求解。FEM的概念结力研究的对象是离散化结构。如桁架，各单元（杆件）之间除结点铰结外，没有其他联系（图（a））。弹力研究的对象，是连续体（图（b）)。结构离散化图6-2将连续体变换为离散化结构（图（c））：即将连续体划分为有限多个、有限大小的单元，并使这些单元仅在一些结点处用绞连结起来，构成所谓‘离散

5、化结构’。结构离散化与相比，两者都是离散化结构；区别是，桁架的单元是杆件，而图（c）的单元是三角形块体（注意：三角形单元内部仍是连续体）。结构离散化例如：将深梁划分为许多三角形单元，这些单元仅在角点用铰连接起来。图（c）图（a）2.应用结构力学方法(位移法)进行求解:分析步骤如下：结力法求解仿照桁架的结力位移法，来求解图（c）的平面离散化结构。其中应注意，三角形单元内部仍是连续体，应按弹力方法进行分析。（2)应用插值公式,由单元结点位移，求单元的位移函数（1）取各结点位移为基本未知量。然后对每个单元,分别求出各物理量,并均用来表示。结力法求解这

6、个插值公式称为单元的位移模式，表示为（5）应用虚功方程，由单元的应力，求出单元的结点力，表示为（4）应用物理方程，由单元的应变，求出单元的应力，表示为（3）应用几何方程，由单元的位移函数d，求出单元的应变，表示为结力法求解——结点对单元的作用力，作用于单元，称为结点力，以正标向为正。——单元对结点的作用力，与数值相同,方向相反，作用于结点。结力法求解（6）将每一单元中的各种外荷载，按虚功等效原则移置到结点上，化为结点荷载，表示为结力法求解各单位移置到i结点上的结点荷载其中表示对围绕i结点的单元求和；结力法求解(7)对每一结点建立平衡方程。各单元

7、对i结点的结点力作用于结点i上的力有：为已知值,是用结点位移表示的值。通过求解联立方程，得出各结点位移值，并从而求出各单元的应变和应力。结力法求解整体分析：建立结点平衡方程组，求解各结点的位移。2.应用结构力学方法求解离散化结构,对单元进行分析：求出（1）单元的位移模式，（2）单元的应变和应力列阵，（3）单元的结点力列阵，（4）单元的结点荷载列阵。1.将连续体变换为离散化结构。归纳起来，FEM分析的主要内容：思考题1.桁架的单元为杆件，而平面体的单元为三角形块体，在三角形内仍是作为连续体来分析的。试考虑后者在用结构力学方法求解时，将会遇到什么困

8、难？2.在平面问题中，是否也可以考虑其它的单元形状，如四边形单元？FEM是取结点位移为基本未知数的。但其中每一个单元仍是连续体，所以按弹力公式求应变、