2020版高考数学第八单元立体几何课时6空间中的垂直关系教案文（含解析）新人教A版

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1、空间角及其计算1．理解两异面直线所成角、直线与平面所成角及二面角的平面角的概念．3．会解决一些关于异面直线所成角、线面角及二面角的简单问题．知识梳理1．两条异面直线所成的角过空间　任意　一点分别引两条异面直线的　平行　直线，那么这两条相交直线所成的　锐角或直角　叫做这两条异面直线所成的角，若记这个角为θ，则θ∈　(0°，90°]　.当两条异面直线所成的角为　90°　时，这两条异面直线互相垂直．2．直线与平面所成的角(1)射影自一点P向平面α引垂线，垂足P′叫做点P在平面α内的　正射影　(简称　射影　)．PP′的长度称为点P到平面α的　距

2、离　.图形F上所有点在平面α上的射影构成的图形F′，叫做图形F在平面α上的　射影　.(2)平面的斜线如果一条直线m与平面α　相交　但不和这个平面　垂直　，则直线m叫做平面α的斜线，交点称为　斜足　.(3)直线与平面所成的角平面α的一条斜线PA和它在平面α上的　射影OA　所成的锐角，叫做斜线与平面所成的角；平面的垂线与平面所成的角为　90°　；直线在平面内或直线与平面平行，此直线与平面所成的角为　0°　.记任一直线与平面所成的角为θ，则θ∈　[0°，90°]　.3．二面角从一条直线l出发的两个半平面(α和β)所组成的图形叫做　二面角　.记

3、作二面角α－l－β，l叫做二面角的　棱　，两个半平面(α和β)叫做二面角的　面　.二面角的平面角：在二面角的棱AB上任取一点O，过O分别在二面角的两个面α，β内作与棱垂直的射线OA，OB，我们把　∠AOB　叫做二面角α－l－β的平面角，用它来度量二面角的大小．二面角θ的取值范围为θ∈　[0°，180°]　.平面角是直角的二面角叫做　直二面角　.热身练习1．在三棱锥A－BCD中，E，F，G分别是AB，AC，BD的中点，若AD与BC所成的角为60°，那么∠FEG为(D)A．30°B．60°C．120°D．60°或120°　∠FEG为两异面直

4、线AD与BC所成的角或其补角．2．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1的中点，则异面直线EF与B1D1所成的角为　60°　.　平移EF到AD1，则∠AD1B1为异面直线EF与B1D1所成的角或其补角，易知△AB1D1为正三角形，所以∠AD1B1＝60°，所以EF与B1D1所成的角为60°.3．过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接PA，PB，PC.(1)若PA＝PB＝PC，∠C＝90°，则点O是三角形AB边的　中　点．(2)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的　外　心．(3)若PA⊥PB，P

5、B⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的　垂　心．4．如图，棱长都为a的正四棱锥中．(1)侧棱与底面所成的角为　45°　；(2)侧面与底面所成的锐二面角的平面角的正弦值为　　.　(1)此正棱锥的高为a，故侧棱与底面所成的角为45°.(2)设侧面与底面所成的角为α，则sinα＝＝.5．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中．(1)B1B与平面A1BC1所成的角的余弦值为　　；(2)二面角D1－BC－A的大小为　45°　.　(1)三棱锥B1－A1BC1为正三棱锥，设B1B与平面A1BC1所成的角为θ，则cosθ＝＝.(2)二面角D1－B

6、C－A的平面角为∠D1CD，其大小为45°.　　　　　　　　　　　　　　异面直线所成的角(2018·全国卷Ⅱ)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为(　　)A.B.C.D.如图，因为AB∥CD，所以AE与CD所成的角为∠EAB.在Rt△ABE中，设AB＝2，则BE＝，则tan∠EAB＝＝，所以异面直线AE与CD所成角的正切值为.C求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种：①利用图形中已有的平行线平移；②利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；③补形平移．最终

7、将空间角转化为平面角，利用解三角形的知识求解．1．(2017·全国卷Ⅱ)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(C)A.B.C.D.将直三棱柱ABC－A1B1C1补形为直四棱柱ABCD－A1B1C1D1，如图所示，连接AD1，B1D1，BD.由题意知∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，所以AD1＝BC1＝，AB1＝，∠DAB＝60°.在△ABD中，由余弦定理知BD2＝22＋12－2×2×1×cos60°＝3，所以BD＝，所以B1D1＝.又A

8、B1与AD1所成的角即为AB1与BC1所成的角θ，所以cosθ＝＝＝.直线与平面所成的角棱长都为2的直平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，∠BAD＝60°，则对角线A1C与侧面DCC1D1所成的角的正弦